Exercícios sobre ângulos notáveis

Para calcular o comprimento da diagonal do retângulo, basta usar a razão do cosseno. Observe que o ângulo em questão tem 30° e que o cosseno de 30° é igual a √3/2.

cos30° = Cateto adjacente a 30°
          hipotenusa

cos30° = 10
              x

√3 = 10
        2      x        

x·√3 = 2·10

x = 20
     √3

x = 20√3
      3

Considerando que √3 = 1,7, teremos:

x = 20·1,7
     3

x = 34
      3

x = 11,3 cm

Gabarito: Alternativa A

O triângulo é equilátero, portanto, isso significa que todos os seus ângulos internos medem 60°. A altura CD é também bissetriz e mediana, por isso o ângulo DCB = 30° e o lado DB = l/2. Além disso, a altura CD forma o triângulo CDB, que será o único a ser citado de agora em diante.

Observe que o cosseno de 30° será o cosseno do ângulo DCB. Note também que será necessário calcular a medida de h em função de l, pois h é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Para isso, usaremos o seno do ângulo DBC, uma vez que o cateto oposto a esse ângulo é h, e l é a hipotenusa do triângulo. Sabendo que esse ângulo mede 60° porque o triângulo ABC é equilátero, teremos:

Sen60° = h
              l

√3 = h 
2     l 

h = l√3
     2

Agora, basta calcular o cosseno de 30°:

Cos30° = h
              l

cos30° = l√3
                   2     
                                 I                   

Para resolver uma divisão de frações, conserve a primeira fração e multiplique-a pelo inverso da segunda.

Cos30° = l√3∙1
               2   l

Observe que é possível simplificar essa expressão para:

cos30° = √3
              2

E perceba também que, desde o início, o valor procurado é o mesmo da tabela dos ângulos notáveis relativo ao cosseno de 30°.

Gabarito: Alternativa C

Observe que o ângulo ABC é reto, e que os lados AB e AC têm a mesma medida, pois a figura é um quadrado. Assim sendo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles, com a base igual ao lado AC. Assim, os ângulos BAC e BCA são iguais a 45°. Além disso, a hipotenusa desse triângulo é o segmento AC. Precisamos da medida desse segmento em função de l, o que pode ser feito a partir do cosseno de 45°. Após isso, basta calcular o seno de 45°, considerando o lado CB como oposto a esse ângulo e d como hipotenusa.

Medida da hipotenusa:

Cos45° =   l   
                d   

√2 =   l   
2      d  

d√2 = 2l

d = 2l
    √2

d = 2l√2
      2

d = l√2

Medida do seno de 45°:

sen45° =  l  
                d    

sen45° =   l   
             l√2

sen45° =  1  
             √2

sen45° = √2
              2

Gabarito: Alternativa B

Um triângulo equilátero possui todos os lados com a mesma medida, e seus ângulos internos medem 60°. Como a altura é também bissetriz e mediana, teremos no triângulo as seguintes medidas:

Usando a relação seno de 60°, teremos:

sen60° = h 
            10

√3 =     h    
  2       10     

h = 10√3
     2

h = 5√3

Gabarito: Alternativa D