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Exercícios sobre Cálculo do MMC e do MDC

Exercícios de Matemática

Exercícios sobre o cálculo do MMC e do MDC podem ser feitos através de processos extremamente semelhantes: a fatoração simultânea. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:

a) 18 e 60

b) 210 e 462

questão 2

(Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

a) 12

b) 10

c) 20

d) 15

e) 30

questão 3

(Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: 

questão 4

José possui um supermercado e pretende organizar de 100 a 150 detergentes, de três marcas distintas, na prateleira de produtos de limpeza, agrupando-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, mas sempre restando um. Quantos detergentes José tem em seu supermercado? 

respostas
Questão 1

a) Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível:

18, 60 | 2
 
 9, 30 | 2
 
 9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   
1, 5 | 5
1, 1 |

Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = 180.

18, 60 | 2
  9, 30 | 2
  9, 15 | 3
   3, 5 | 3
   1, 5 | 5
 1, 1 |

Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6.

b) Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números:

210, 462 | 2
105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    1, 1 |

Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC (210, 462) = 2.310.

210, 462 | 2
105, 231 | 3
   35, 77 | 5
     7, 77 | 7
       1, 11 | 11
    ​
1, 1 |

Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42. 

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Questão 2

Como o exercício nos questiona “após quantos segundos elas voltarão a 'piscar simultaneamente'”, precisamos converter as informações dadas para medidas de “segundos”. Portanto, se a primeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que um minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4, pois as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da segunda torre piscam de 6 em 6 segundos.

4, 6 | 2
2, 3 | 2
 1, 3| 3
                 1, 1 | 3 * 2* 2 = 12

Multiplicando os números que dividem o 4 e o 6, temos 2 x 1 x 3 = 12. Portanto, MMC (4,6) = 12. Logo, as torres piscaram juntas a cada 12 segundos

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Questão 3

Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível.

Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político:

90, 108, 144 | 2
   45, 54, 72 | 2
   45, 27, 36 | 2
   45, 27, 18 | 2
    45, 27, 9 | 3
      15, 9, 3 | 3
       5, 3, 1 | 3
       5, 1, 1 | 5
    1, 1, 1 |

Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18.

Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos:

90: 18 = 5 aparições

108/18 = 6 aparições

144 : 18 = 8 aparições

Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 6 + 8 = 19 aparições.

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Questão 4

Se José arruma os detergentes em grupos de múltiplos de 12, 15 ou 20, e sobra 1, vamos então encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses números e adicionaremos 1 ao resultado. Vejamos:

 12, 15, 20 | 2
6 , 15 , 10 | 2
  3 , 15 , 5 | 3
   1 , 5 , 5 | 5
 1 , 1 , 1 |

Temos que multiplicar os números que apareceram à direita: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Todos os múltiplos de 60 serão também múltiplos comuns a 12, 15 e 20. Vejamos os múltiplos de 60:

M(60) = {0, 60, 120, 180, 240, ...}

Você pode observar que o único dos múltiplos de 60 que se encaixa na quantidade de detergentes do supermercado de José é o 120. Mas falta ainda acrescentarmos aquele detergente que sempre restava, portanto, podemos concluir que no supermercado de José havia 121 detergentes.

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