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Exercícios sobre composição de três ou mais funções

Exercícios de Matemática

A resolução de exercícios sobre composição de três ou mais funções assemelha-se à de questões com simples funções compostas, mas requer mais atenção e cuidado. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Se f(x) = x², g(x) = 2x e h(x) = – x³ + 2x² – x, determine o valor de f(g(h(2))).

questão 2

Sabendo que f o g = x² + 2x, que g o h = – 3x + 2 e que h o i = x + 1/x, determine f(g(h(i(x)))).

questão 3

(Anglo) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x – 1 e g(x) = x², o valor de f(g(f(1))) é:

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

questão 4

(UFC) Considere a função f(x) = cx/(dx + 3), definida para todo número real x tal que dx + 3 0, onde c e d são constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = x e f5(3) = f(f(f(f(f(3))))) = – 3/5, podemos afirmar que c² + d² é igual a:

a) 5

b) 25

c) 61

d) 113

e) 181

respostas
Questão 1

Para resolver essa composição de funções, começaremos pela função composta mais interna, g(h(x)), ainda sem substituir o valor de x:

g(x) = 2x
g(h(x)) = 2.h(x)
g(h(x)) = 2.(– x³ + 2x² – x)
g(h(x)) = – 2.x³ + 4x² – 2x

Vamos agora calcular toda a composição das três funções f(g(h(x))):

f(x) = x²
f(g(h(x))) = [g(h(x))
f(g(h(x))) = [– 2.x³ + 4x² – 2x – 3
f(g(h(x))) = 4x6 – 16x5 + 24x4 – 16x3 + 4x2

Podemos agora definir o valor de f(g(h(2))):

f(g(h(x))) = 4x6 – 16x5 + 24x4 – 16x3 + 4x2
f(g(h(2))) = 4.26 – 16.25 + 24.24 – 16.23 + 4.22
f(g(h(2))) = 4.64 – 16.32 + 24.16 – 16.8 + 4.4
f(g(h(2))) = 256 – 512 + 384 – 128 + 16
f(g(h(2))) = 16

Portanto, o valor da composição das funções f(g(h(2))) é 16.

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Questão 2

Podemos rescrever as funções compostas da seguinte forma:

f(g(x)) = x² + 2x
g(h(x)) = – 3x + 2
h(i(x)) = x + 1/x,

Na composição f(g(h(i(x)))), podemos aplicar h(i(x)):

f(g(h(i(x)))) = f(g(x + 1/x)))

Mas sabemos que f(g(x)) = x² + 2x, sendo assim:

f(g(x)) = x² + 2x
f(g(x + 1/x))) = (x + 1/x)² + 2.(x + 1/x)
f(g(h(i(x)))) = x² + 2 + 1 + 2x + 2
                                   x²           x
f(g(h(i(x)))) = x4 + 2x² + 1 + 2x³ + 2x
                          x²
f(g(h(i(x)))) = x4 + 2x³ + 2x³ + 2x + 1
                     

A composição das funções resulta em: 

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Questão 3

Resolveremos a função composta f(g(f(1))) “de dentro para fora”. Sendo assim, primeiramente faremos f(1):

f(x) = 3x – 1
f(1) = 3.1 – 1
f(1) = 3 – 1
f(1) = 2

Agora faremos g(f(1)). Mas como f(1) = 2, faremos simplesmente g(2):

g(x) = x²
g(2) = 2²
g(2) = 4

Para calcular f(g(f(1))), considerando que g(f(1)) = g(2) = 4, basta fazer f(4):

f(x) = 3x – 1
f(4) = 3.4 – 1
f(4) = 12 – 1
f(4) = 11

A alternativa correta é a letra b.

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Questão 4

De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que f(f(x)) = x; sendo assim, podemos afirmar que f(f(3)) = 3, logo:

f(f(f(f(f(3))))) = – 3/5
f(f(f(3))) = – 3/5
f(f(f(3))) = – 3/5
f(3) = – 3/5 *

Mas considerando a lei da função, temos que f(x) = cx/(dx + 3). Portanto, podemos também deduzir que:

f(x) =     cx    
        dx + 3

f(3) =     c.3    
         d.3 + 3

f(3) =     3.c    
         3.(d + 1)

f(3) =     c     
         d + 1

Por *, temos que f(3) = – 3/5, sendo assim, chegamos à seguinte equação:

3 =      c     
  5       d + 1   

3. (d + 1) = 5.c
3.d – 3 = 5.c
5c + 3d = – 3 **

Reserve as equações f(3) = – 3/5 * e 5c + 3d = – 3 **, logo elas serão utilizadas. Por ora, vamos retomar a lei da função dada no enunciado. Se substituirmos x por f(x), teremos:

f(x) =      cx     
         dx + 3

f(f(x)) =       c.f(x)     
              d.f(x) + 3

x =      c.f(x)     
      d.f(x) + 3

E se substituirmos novamente o x? Onde houver x colocaremos 3 e, aplicando f(3) = – 3/5 *, obteremos:

3 =      c.f(3)        
       d.f(3) + 3

3 =    c. (-3/5)   
      d. (-3/5) = 3

3 =     – 3.c     
    
3.d + 15

3 =       – c      
    – d + 5

3d + 15 = – c
c – 3d = – 15 ***

Por 5c + 3d = – 3 ** e c – 3d = – 15 ***, temos o seguinte sistema que resolveremos pelo método da adição:


6c + 0.d = – 18
c = – 18
       6
c = – 3

Agora que encontramos c = – 3, substituiremos esse valor em c – 3d = – 15 ***:

c – 3d = – 15
- 3 - 3d = - 15

3 + 3d = 15
3d = 15 – 3
d = 12
      3
d = 4

Se c = – 3 e d = 4, podemos então calcular o valor de c² + d²:

c² + d² = (– 3)² + 4² = 9 + 16 = 25

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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