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Exercícios sobre distância entre dois pontos

Exercícios de Matemática

Estes exercícios averiguarão se você sabe calcular corretamente a distância entre dois pontos. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que suas coordenadas são A (2,5) e B (– 5, – 2).

questão 2

Calcule o valor da coordenada x do ponto A (x,2) sabendo que a distância entre A e B (4,8) é 10.

questão 3

(UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B( -6,3), a abscissa de P vale:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 3

questão 4

(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é:

a) -1

b) 0

c) 1 ou 13

d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

respostas
Questão 1

dAB = √[(– 5 – 2)2 + (– 2 – 5)2]

dAB = √[(– 7)2 + (– 7)2]

dAB = √(49 + 49)

dAB = √98

dAB ≈ 10

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Questão 2

dAB = √[(4 – x)2 + (8 – 2)2] = 10

√[(4 – x)2 + (6)2] = 10

√[(4 – x)2 + 36] = 10

Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos:

(4 – x)2 + 36 = 102

16 – 8x + x2 + 36 = 100

Observe que já existe um trinômio quadrado perfeito, o que possibilita a utilização do método de completar quadrados para resolver essa equação do segundo grau.

16 – 8x + x2 = 100 – 36

(x – 4)2 = 64

Fazendo a raiz quadrada de ambos os termos, teremos:

x – 4 = ± 6

x = 6 + 4 ou x = 6 – 4

x = 10 ou x = 1

Portanto, ou a coordenada x = 10 ou a coordenada x = 1

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Questão 3

Qualquer ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, terá coordenadas P = (x, 0). A distância entre P e A é igual à distância entre P e B, pois P é equidistante dos pontos A e B. Logo, podemos escrever:

dPA = dPB

√[(x – 1)2 + (0 – 4)2] = √[(x – (– 6))2 + (0 – 3)2]

Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos:

(x – 1)2 + (0 – 4)2= (x – (– 6))2 + (0 – 3)2

Utilizando o quadrado da diferença e quadrado da soma, teremos:

(x – 1)2 + 16 = (x + 6)2 + 9

x2 – 2x + 1 + 16 = x2 + 12x + 36 + 9

Agora, basta reorganizar os termos e realizar os cálculos:

x2 – 2x – x2 – 12x = 36 + 9 – 16 – 1

– 14x = 28

x = 28
– 14

x = – 2

Logo, o valor da abscissa do ponto P é – 2. Gabarito A.

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Questão 4

Utilizando a fórmula para o cálculo da distância entre A e B, teremos:

DAB = √[(6 - (- 2))2+(7 – y)2] = 10

√[(6 + 2)2+(7 – y)2] = 10

√[(8)2+(7 – y)2] = 10

Elevando os dois membros da equação ao quadrado e simplificando os termos, teremos:

64+(7 – y)2 = 102

64 + 49 – 14y + y2 = 100

64 + 49 – 14y + y2 = 100

113 – 14y + y2 = 100

113 – 100 – 14y + y2 = 0

y2 – 14y + 13 = 0

Utilizando o método de completar quadrados para solução dessa equação, teremos:

y2 – 14y + 49 = 49 – 13

(y – 7)2 = 36

y – 7 = ± 6

y = + 6 + 7 = 13

y = – 6 + 7 = 1

Logo, o valor de y é 1 ou 13. Gabarito C.

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