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Exercícios sobre equação biquadrada

Exercícios de Matemática

Para resolver exercícios sobre equações biquadradas, devemos sempre substituir a incógnita da equação por outra letra, fazendo a seguinte relação x2 = y. Publicado por: Naysa Crystine Nogueira Oliveira
questão 1

(CMRJ) Dada a equação x4 + 4x2 - 45=0, podemos afirmar que:

a) tal equação possui 4 raízes reais.

b) duas de suas raízes são números racionais.

c) a soma das suas raízes reais é igual a −4.

d) o produto das suas raízes reais é igual a −5.

e) o produto das suas raízes reais é igual a −45.

questão 2

Resolva a equação 2x4 – 20x2 – 12 = 0.

questão 3

(FAAP-SP) Em R, resolver x4 - 3x2 – 4 = 0.

questão 4

Verifique se o conjunto x = {+2, -2, + 1, -1} é solução da seguinte equação biquadrada:

x4 - 5x2 +4 = 0

respostas
Questão 1

Para resolver essa questão, devemos fatorar x4:

(x2)2 + 4x2 – 45=0

x2 . x2 + 4x2 – 45=0

Agora nomeie outra letra para x2 → x2 = y

y . y + 4y – 45=0

y 2 + 4y – 45=0

A equação encontrada é de segundo grau. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

Agora que encontramos dois valores para y, devemos substitui-los na fórmula x2 = y para conhecermos as raízes de x.

Como não existe raiz quadrada negativa no conjunto dos números reais, -9 não é solução da equação. Com isso, a alternativa correta para essa questão é a letra d, já que:

 

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Questão 2

Para solucionar essa questão, devemos fatorar x4:

2 . x2 . x2– 20x2 – 12 = 0.

Agora faça a substituição devida → x2 = y:

2y2– 20y – 12 = 0

A equação encontrada é de segundo grau. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

Devemos agora encontrar as raízes da equação para a incógnita x → x2 = y. Como y'' é negativo (-0,575), não será solução para a equação. Logo, aplicaremos a fórmula somente para y'.

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Questão 3

Fatore x4, transformando-o em: x2 . x2.

x2 . x2 - 3x2 – 4 = 0

Substitua x2 por y.

y. y – 3y – 4 = 0

y2 – 3y – 4 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, resolva a equação do segundo grau.

Como y'' é negativo, não iremos utilizá-lo para encontrar a resposta final. Substitua o valor de y' = 4 na fórmula x2 = y para encontrar as raízes reais de x.

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Questão 4

Para verificar se os números do conjunto {+2, -2, + 1, -1} são soluções da equação, devemos substituir x pelos valores numéricos e verificar se encontramos ao final dos cálculos: 0 = 0. Caso isso aconteça, o número da substituição será raiz.

Substituindo x por + 2

x4 - 5x2 +4 = 0

24 – 5 . 22 + 4 = 0

16 - 20 + 4 = 0

16 – 16 = 0

0 = 0

Temos que +2 é solução da equação biquadrada.

Substituindo x por – 2

x4 - 5x2 +4 = 0

(-2)4 – 5 . ( - 2)2 + 4 = 0

+ 16 – 20 + 4 = 0

+ 16 – 16 = 0

0 = 0

O número –2 é solução da equação biquadrada.

Substituindo x por + 1

x4 - 5x2 +4 = 0

+14 – 5 . + 12 + 4 = 0

+1 – 5 + 4 = 0

- 4 + 4 = 0

0 = 0

+ 1 é solução da equação biquadrada.

Substituindo x por - 1

x4 - 5x2 +4 = 0

(-1)4 – 5 . (- 12) + 4 = 0

+1 – 5 . + 1 + 4 = 0

-4 + 4 = 0

0 = 0

O número -1 é solução da equação biquadrada.

Temos que todos os números {+2, -2, + 1, -1} são soluções da equação: x4 - 5x2 +4 = 0.

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