Topo
pesquisar

Exercícios sobre equações logarítmicas

Exercícios de Matemática

Para resolver estes exercícios sobre equações logarítmicas, é possível aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos, bem como os princípios da resolução de equações. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Resolva a equação logarítmica abaixo, determinando o valor de x:

log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)

questão 2

Resolva a equação logarítmica log2x + 1 (10x – 3) = 1.

questão 3

(Vunesp) O valor de x na equação é:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) √3

questão 4

(FURG-RS) Sendo x a solução da equação  , o valor de x3 é:

a) ½

b) 1

c) 2

d) 4

e) 8

respostas
Questão 1

Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

4x – 2 > 0
4x > 2
x > 2
      4
x > 1
       2
2x – 1 > 0
2x > 1
x > 1
       2

A subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente. Sendo assim, vamos reescrever a equação:

log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)

Como temos uma igualdade de logaritmos de mesma base, podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

4x – 2 = 2
             2x – 1
(4x – 2)(2x – 1) = 2
8x² – 8x + 2 = 2
8x² – 8x = 0
8(x² – x) = 0
x² – x = 0
x1 = 0
x2 = 1

Podemos desconsiderar o x1 = 0, pois a condição de existência dos logaritmos dessa expressão mostra-nos que x > ½. Portanto, o único valor de x para o qual a igualdade log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1) é válida é x = 1.

Voltar a questão
Questão 2

Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:

2x + 1 > 0
2x > – 1
x > – 1/2
10x – 3 > 0
10x > 3
x > 3/10

Aplicando a propriedade básica do logaritmo, temos:

log2x + 1 (10x – 3) = 1
(2x + 1)1 = 10x – 3
2x + 1 = 10x – 3

2x – 10x = – 3 – 1
8x = – 4 (– 1)
8x = 4
x = 4
      
8

x = 1
      
2

 

Portanto, a única solução possível para log2x + 1 (10x – 3) = 1 é x = ½.

Voltar a questão
Questão 3

Para resolver a equação logarítmica em questão, aplicaremos o princípio básico dos logaritmos:


Sabendo que 33 = , temos:




x = √3

Portanto, a solução da equação logarítmica  é x = 3. A alternativa correta é a letra e.

Voltar a questão
Questão 4

A fração ½ pode ser escrita como 2 – 1:

Como as bases estão iguais, podemos estabelecer uma igualdade entre os expoentes:

log3 log2 x = – 1

Resolvendo o primeiro logaritmo, cuja base é 3, temos:

log3 (log2 x) = – 1
3 – 1 = log2 x
log2 x = 1
             
3

Aplicando novamente o logaritmo, podemos determinar o valor de x:

Conforme foi pedido no enunciado, vamos calcular o valor de x³:

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Voltar a questão
Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas
artigo
relacionado
  • SIGA O BRASIL ESCOLA
Exercícios Brasil Escola