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Exercícios sobre Fórmulas de Adição de Arcos

Exercícios de Matemática

É necessário saber encontrar o seno, o cosseno e a tangente da maioria dos ângulos, a partir das medidas de outros arcos, para resolver estes exercícios sobre fórmulas de adição de arcos. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Determine o valor de A = sen 105° + cos 105°.

questão 2

Quanto vale (tg 15°). (sen 15°)?

questão 3

(PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:

a) 0,2

b) 0,3

c) 0,4

d) 0,5

e) 0,6

questão 4

(UFAM) O cosseno do arco de medida 255° é igual a:

a) √6 – √3
         4

b) √6 – √2
         4

c) √2 – √6
          4

d) √2 + √6
         4

e) √2 – √6
         4

respostas
Questão 1

Para resolver essa expressão, precisamos identificar os valores de sen 105° e de cos 105°. Para tanto, podemos considerar que 105° = 45° + 60°. Através do cosseno da soma de dois arcos, temos:

cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (45° + 60°) = cos 45° . cos 60° – sen 45° . sen 60°
cos (105°) = √2 . 1 √2 . √3
                     2     2     2     2
cos (105°) = √2 √6
                     4     4

A partir do seno da soma de dois arcos, temos:

sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x
sen (45° + 60°) = sen 45° . cos 60° + sen 60° . cos 45°
sen (105°) = √2 . 1 + √3 . √2
                      2     2     2     2
sen (105°) = √2 + √6
                      4     4

Vamos agora encontrar o valor de A:

A = sen 105° + cos 105°
A = √2 √6 + √2 + √6
       4      4      4      4
A = 2√2
        4
A = √2
       2

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Questão 2

Para encontrar o valor dessa expressão, precisamos primeiro determinar o valor de tg 15° e de sen 15°. Uma das alternativas para encontrar esses valores é utilizar a diferença entre os ângulos de 60° e 45°. Temos, então:

tg (x – y) = tg x – tg y
                    1 + tg x . tg y

tg (60° – 45°) = tg 60° – tg 45°
                           1 + tg 60° . tg 45°

tg (15°) = 3 – 1
                 1 + 3.1

tg (15°) = 3 – 1
                1 + 3

Vamos agora determinar o valor de sen (15)°:

sen (x – y) = sen x . cos y – sen y . cos x
sen (60° – 45°) = sen 60° . cos 45° – sen 45° . cos 60°
sen (15°) = √3 . √2 √2 . 1
                     2     2      2    2
sen (15°) = √6 √2
                    4      4
sen (15°) = √6 – √2
                     4

Resolvendo a expressão, temos:

(tg 15°). (sen 15°) = (√3 – 1 ) . (√6 – √2)
                           (1 + √3)         4

(tg 15°). (sen 15°) = √18 – √6 – √6 + √2
                                    4 + 4√3

Fatorando √18, encontramos que √18 = 3√2. Assim:

(tg 15°). (sen 15°) = 3√2 – 2√6 + √2
                                    4 + 4√3

(tg 15°). (sen 15°) = 4√2 – 2√6
                                   4 + 4√3

(tg 15°). (sen 15°) = 2√2 – √6
                                  2 + 2√3

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Questão 3

O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por:

tg (x + y) = tg x + tg y
                  1 – tg x . tg y

Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, temos:

33 = 3 + tg y
        1 – 3.tg y

33 – 99.tg y = 3 + tg y
100.tg y = 30
tg y = 30
          100
tg y = 0,3

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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Questão 4

O valor do cosseno de 255º é desconhecido por nós, mas pode ser obtido a partir da soma de arcos. Uma das possibilidades é desmembrar o ângulo de 255° na soma 180° + 75°. Os valores de seno e cosseno de 180° são conhecidos, entretanto, precisamos encontrá-los para o ângulo de 75°, o que pode ser feito a partir da soma dos arcos de 30° e 45°:

cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (30° + 45°) = cos 30° . cos 45° – sen 30° . sen 45°
cos (75°) = √3 . √2 1 . √2
                    2     2     2     2
cos (75°) = √6 √2
                    4     4
cos (75°) = √6 – √2
                  4

Vamos agora encontrar o valor do cosseno de 255°:

cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (180° + 75°) = cos 180° . cos 75° – sen 180° . sen 75°
cos (255°) = (– 1) . √6 – √2 – 0 . sen 75°
          4
cos (255°) = √2 – √6
                     4

Concluímos então que a alternativa correta é a letra e.

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