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Exercícios sobre Função Composta

Exercícios de Matemática

Para resolver exercícios sobre função composta, devemos aplicar uma função no domínio de outra função. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Sejam f e g funções reais, sendo que f(x) = 4x – 2 e f(g(x)) = 2x + 10. Determine a lei de formação da função g(x).

questão 2

Suponha a função real g(x) = x+1 e f(x) = x4 . Encontre a função decorrente da composição de f(g(x)).

questão 3

(Mackenzie – SP) As funções f(x) = 3–4x e g(x) = 3x+m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:

a) 9/4

b) 5/4

c) –6/5

d) 9/5

e) –2/3

questão 4

(PUC – PR) Considere  e  . Calcule f(g(x)) para x = 4:

a) 6

b) 8

c) 2

d) 1

e) 4

respostas
Questão 1

Sabemos, pelas informações do exercício, que f(g(x)) = 2x + 10, mas nós sabemos também que f(x) = 4x – 2. Portanto, podemos escrever f(g(x)) apenas substituindo a variável x pela função g(x), da seguinte forma:

f(g(x)) = 4 (g(x))-2

Há duas igualdades para f(g(x)), podemos afirmar que ambas são idênticas, formando a equação:

4(g(x))-2 = 2x +10

Agora é possível desenvolvê-la:

4(g(x)) = 2x +10 +2

4(g(x)) = 2x +12
g(x) =
2x +12

        4

g(x) = 2x +12
         4     4

g(x) = x + 3
   2

Portanto, a função g(x) é g(x) = x + 3
                                                   2
.

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Questão 2

Pela composição de funções, temos:

f(g(x)) = (x+1)4

Através da propriedade de “potência de potência”, é possível reescrever essa composição como:

f(g(x)) = [(x+1)2]2

As propriedades do trinômio quadrado perfeito resultam em:

f(g(x)) = (x2+2x+1)2

Basta resolver esse quadrado:

f(g(x)) = (x2+2x+1)(x2+2x+1)

f(g(x)) = x4+2x3+x2+2x3+4x2+2x+x2+2x+1

Agrupando os termos semelhantes, resta-nos a seguinte função:

f(g(x)) = x4+4x3+6x2+4x+1

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Questão 3

Sabendo que f(g(x)) = g(f(x)):

Vamos realizar a composição de funções de ambos os lados da igualdade:

3 – 4.(3x+m) = 3.(3-4x) + m
3-12x-4m = 9-12x+m

-4m-m = 9-3-12x+12x
-5m = 6
(-1).-5m = 6.(-1)

5m = -6

m = - 6
         5

Portanto, para que a igualdade f(g(x)) = g(f(x)) seja verdadeira, é necessário que m = - 6
                         5.

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Questão 4

Vamos realizar a composição de f(g(x)):

f(g(x)) = (x-1)2-1
          (x-1)-2
f(g(x)) =
x2 -2x+1-1
           x-1-2
f(g(x)) =
x2 -2x
           x-3

Agora que realizamos a composição de funções, vamos substituir x = 4 na função que encontramos:

f(g(4)) = 42-2.4
            4-3

f(g(4)) = 16-8
            1

f(g(4)) = 8

Portanto, a composição f(g(x)), quando x = 4, é 8.

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