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Exercícios sobre função logarítmica

Exercícios de Matemática

Ao resolver estes exercícios sobre função logarítmica, é necessário analisar as condições de existência do domínio e o tipo de gráfico, além de realizar operações com logaritmos. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Estabeleça o domínio das funções a seguir:

a) y = log3 (x – ½)

b) y = log(x – 1) (– 3x + 9)

c) y = log(x + 2) (x² – 4)

questão 2

Construa o gráfico das funções:

a) y = log2 x

b) y = log1/2

questão 3

O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3.(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.

a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto?

b) Faça o gráfico de y em função de t

questão 4

Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:

a) O capital acumulado após dois anos.

b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.

(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033).

respostas
Questão 1

a) Para a função y = log3 (x – ½), temos apenas uma restrição:

x – ½ > 0 → x > ½

Então, o domínio da função logarítmica é D = {x   | x > ½}.

b) Para a função y = log(x – 1) (– 3x + 9), temos as restrições:

3x + 9 > 0 → – 3x > – 9 → x < 3
x – 1 > 0 → x > 1
x – 1 ≠ 1 → x ≠ 2

Portanto, o domínio da função logarítmica y é D = {x    | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}

 

c) Para a função y = log(x + 2) (x² – 4), temos as restrições:

x² – 4 > 0 → x > √4 → x < – 2 ou x > 2
x + 2 > 0 → x > – 2
x + 2 ≠ 1 → x ≠ – 1
O domínio da função logarítmica y é D = {x   | x > 2 ou x ≠ – 1

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Questão 2

a) Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma função crescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:

 


Gráfico da função y = log
2 x

 

b) Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma função decrescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:


Gráfico da função y = log
1/2 x

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Questão 3

a) Queremos encontrar o valor de t para y 1,2. Vamos então substituir esse valor de y na função:

3 – 3.(0,95)t = y
3 – 3.(0,95)t ≥ 1,2
3.(0,95)t ≥ 1,2 – 3

3.(0,95)t ≤ 1,8
(0,95)t1,8
             3
(0,95)t ≤ 0,6

Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:

log (0,95)t ≤ log 0,6
t . log (0,95) ≤ log 0,6
t ≤ log 0,6
      
log 0,95
t ≤ 9,95

Portanto, em até 10 dias, 1,2 milhões de pessoas terão visto o anúncio do produto.

b) y = 3 – 3.(0,95)t é uma função crescente e o gráfico da função logarítmica é:

 


Gráfico da função y = 3 – 3.(0,95)t

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Questão 4

a) O capital acumulado após um ano pode ser calculado através da fórmula de juros compostos:

M = C . (1 + i)t

Sendo C o capital de R$ 12.000,00, i a taxa de juros de 0,08 e t o tempo de 2 anos, temos:

M = C . (1 + i)t
M = 12000 . (1 + 0,08)2
M = 12000 . 1,082
M = 13996,8

Então, após dois anos, o capital acumulado foi de R$ 13.996,80.

b) Considere x como o número de anos, i como a taxa de juros de 0,08, C como o capital inicial e M como o montante que deverá ser maior que o dobro do capital inicial, sendo assim, teremos:

C . (1 + i)t > M
C . (1 + i)t > 2C
(1 + i)t > 2
(1 + 0,08)t > 2
1,08t > 2

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da inequação, teremos:

log 1,08t > log 2
t . log 1,08 > log 2
t > log 2
log 1,08
t > 0,301
     0,033
t > 9,121

Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial.

 

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