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Exercícios sobre Função Modular

Exercícios de Matemática

Ao resolvermos exercícios sobre função modular, devemos atentar para as propriedades operatórias do módulo, bem como para as características de seu gráfico. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Se f(x) = x² + 2x e g(x) = |x³| + 2x, determine a composta de f com g e de g com f.

questão 2

Construa o gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|.

questão 3

(UFSC) Sejam as funções f(x) = |x – 1| e g(x) = (x² + 4x – 4).

a) Calcule as raízes de f[g(x)] = 0

b) Esboce o gráfico de f[g(x)], indicando os pontos em que o gráfico intercepta o eixo cartesiano.

questão 4

(UFF – RJ) Considere a função f definida por . Pede-se:

a) f(0)

b) (f o f)(– 2)

c) o valor de m tal que f(m) = – 125

d) f –1 = ¼

respostas
Questão 1

Primeiramente vamos encontrar a composição das funções f[g(x)]:

f(x) = x² + 2x

f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)]

f[g(x)] = (|x³| + 2x)² + 2.(|– x³| + 2x)

f[g(x)] = |x³|² + 4x.|x³| + 4x² + 2.|x³| + 4x

f[g(x)] = |x|6 + 2.|x³| + 4x.(|x³| + x + 1)

Vamos agora determinar a composição das funções g[f(x)]:

g(x) = |x³| + 2x

g[f(x)] = |[f(x)]|³ + 2.[f(x)]

g[f(x)] = |x² + 2x|³ + 2.(x² + 2x)

g[f(x)] = |x|³.|x + 2|³ + 2x² + 4x

g[f(x)] = |x|6 + 6|x|5 + 12|x|4 + 8|x|3 + 2x² + 4x

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Questão 2

Para formular esse gráfico, podemos tomar como parâmetro o gráfico de f(x) = |x – 1|, que na imagem abaixo está retratado com a cor rosa. Esse gráfico toca o eixo x no ponto (1,0), pois |x – 1| = 0 se, e somente se, x = 1. Basta então “subir” o gráfico duas unidades. Dessa forma, podemos obter o gráfico de f(x) = 2 + |x – 1|, que na figura está representado com a cor vermelha:

Gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|
Gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|

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Questão 3

a) Inicialmente vamos realizar a composição das funções f[g(x)].

f(x) = |x – 1|
f[g(x)] = |g(x) – 1|
f[g(x)] = |(x² + 4x – 4) – 1|
f[g(x)] = |x² + 4x – 5|

Para determinar as raízes da equação f[g(x)] = 0, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = 4² – 4.1.(– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36

x = – 4 ± √36
      2.1

x = – 4 ± 6
      2

x = – 2 ± 3

x' = – 2 + 3 = 1
x'' = – 2 – 3 = – 5

As raízes de f[g(x)] são 1 e – 5.

b) Se desconsiderarmos que se trata de uma função modular, podemos analisar que a função f[g(x)]1 = x² + 4x – 5 corresponde ao gráfico de uma parábola com concavidade para cima. Através dos cálculos de máximo e mínimo de uma parábola, podemos determinar as coordenadas do vértice:

Xv = – b
        2a

Xv = – 4
        2.1

Xv = – 2

Yv = Δ
       4a

Yv = – 36
        4.1

Yv = – 9

Portanto, o vértice da parábola de f[g(x)]1 é o ponto (– 2, – 9). Mas como estamos trabalhando com uma função modular, a parte da parábola que se encontra no 3° quadrante, isto é, os valores de f[g(x)] < 0, é refletida no 2° quadrante. Na imagem a seguir temos o gráfico correspondente à função f[g(x)]. Observe que, em vermelho, temos a curva assumida pelo gráfico da função modular, já, em rosa, temos a curva da função caso esta não fosse modular:

Gráfico da função modular f[g(x)] = |x² + 4x – 5|
Gráfico da função modular f[g(x)] = |x² + 4x – 5|

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Questão 4

a) O módulo de zero é o próprio zero, portanto, é menor do que 4. Sendo assim, usaremos a lei da função: f(x) = 4x. Para x = 0, temos:

f(x) = 4x
f(0) = 4.0
f(0) = 0

Sendo assim, temos f(0) = 0.

b) Vamos calcular primeiro o valor de f(– 2). Como |– 2| < 4, utilizaremos f(x) = 4x:

f(x) = 4x
f(– 2) = 4.(– 2)
f(– 2) = – 8

Agora calcularemos a composição (f o f) (– 2) que corresponde a f(f(– 2)) = f(– 8). Como |– 8| ≥ 4, utilizaremos f(x) = x³:

f(x) = x³
(f o f) (– 2) = (– 8)³
(f o f) (– 2) = – 512

Portanto, (f o f) (– 2) = – 512.

c) O valor de f(m) = – 125 só pode corresponder a uma das leis da função. Mas como – 125 não é múltiplo de 4, a função não pode ser f(x) = 4x. Sendo assim, utilizaremos a função f(x) = x³:

f(x) = x³
125 = x³
x = 
x = – 5

d) Como |¼| < 4, utilizaremos f(x) = 4x:

f–1(¼) = a
f(a) = ¼
4a = ¼
a = 1
     
16

Temos então que f–1(¼) = 1/16.

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