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Exercícios sobre inequações exponenciais

Exercícios de Matemática

A resolução de exercícios sobre inequações exponenciais exige conhecimento sobre as regras de potenciação e de equação exponencial. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Se x é um número real, resolva a inequação exponencial (3x)x – 1 ≤ 729.

questão 2

Seja x um número real, determine o conjunto solução da seguinte inequação exponencial:

22x + 2 – 2 x + 3 > 2x – 2

questão 3

(Vunesp) É dada a inequação:

O conjunto verdade V, considerado o conjunto universo como sendo o dos reais, é dado por:

a) V = {x  R | x ≤ – 3 ou x ≥ 2}

b) V = {x  R | x ≤ – 3 e x ≥ 2}

c) V = {x  R | – 3 ≤ x ≤ 2}

d) V = {x  R | x ≤ – 3}

e) V = {x  R | x ≥ 2}

questão 4

(UFRGS) A solução da inequação 0,5(1 – x) > 1 é o conjunto:

a) {x  R | x > 1}

b) {x  R | x < 1}

c) {x  R | x > 0}

d) {x  R | x < 0}

e) Reais

respostas
Questão 1

Podemos reescrever essa inequação exponencial substituindo o número 729 pela potência de base 3 e expoente 6. Feito isso, estabeleceremos a inequação apenas entre os expoentes:

(3x)x – 1 ≤ 729
(3x)x 1 ≤ 36
x(x – 1) ≤ 6
x² – x – 6 ≤ 0

Agora utilizaremos a fórmula de Bhaskara:


Δ = (– 1)² – 4.1.(– 6)

Δ = 1 + 24
Δ = 25

x = – (– 1) ± √25
       2.1

x = 1 ± 5
      2

x' = 1 + 5 = 3
    2       2

x'' = 1 – 5 – 4 = – 2
2         2

Portanto, a solução da inequação é dada por S = {x  R | – 2 ≤ x ≤ 3}.

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Questão 2

Para resolver a inequação exponencial 22x + 2 – 2 x + 3 > 2x – 2, começaremos separando as potências que apresentam somas no expoente, escrevendo-as como produto de potências.

22x · 22 – 2x · 23 > 2x – 21
(2x)2 · 22 – 2x · 23 > 2x – 21

Façamos y = 2x:

y2 · 22 y · 23 > y – 21
4y2 8y > y – 2
4y2 9y + 2 > 0

Temos então uma inequação do 2° grau, que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:


= b² – 4.a.c
= (– 9)² – 4.4.2
= 81 – 32
= 49

y = – b ± √∆
2.a

y = – (– 9) ± √49
2.4

y = 9 ± 7
8

y1 = 9 + 7
       8

y1 = 16
        8

y1 = 2

y2 = 9 – 7
        8

y2 = 2
       8

y2 = 1
        4

Agora que encontramos os possíveis valores de y, podemos resolver y = 2x:

Para y1 = 2

2x = y
2x = 2
x1 = 1

Para y2 = 1/4

2x = y
2x = 1/4
2x = 2– 2
x2 = – 2

O enunciado pediu o conjunto solução da inequação exponencial. Como as raízes são x1 = 1 e x2 = – 2, o conjunto solução é S = {x  R | x < – 2 ou x > 1}.

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Questão 3

Para resolver a inequação exponencial proposta no exercício, simplificaremos a fração 3/9:


Multiplicaremos agora o expoente que está dentro dos parênteses pelos que estão fora:

Podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes:

x ≥ 3 – x
2     2           

Multiplicaremos toda a inequação por dois:

x² – x ≥ 6 – 2x
x² + x – 6 ≥ 0

Pela fórmula de Bhaskara, teremos:


Δ = 1² – 4.1.(– 6)

Δ = 1 + 24
Δ = 25

x = – 1 ± √25
2.1

x = – 1 ± 5
2

x' = – 1 + 5 = 2
       2       2

x'' = – 1 – 5 – 6 = – 3
  2          2

Portanto, a alternativa que corresponde à solução encontrada é a letra a.

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Questão 4

Inicialmente podemos escrever o número 1 como a potência de base 0,5 e expoente 0:

0,5(1 – x) > 1
0,5(1 – x) > 0,50

Como as bases das potências são iguais, podemos estabelecer a inequação apenas entre os expoentes. Lembrando que, como a base é 0,5, um número menor do que 1, devemos inverter a desigualdade:

1 – x < 0
x < – 1
x > 1

Portanto, a alternativa que apresenta a solução correta é a letra a.

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