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Exercícios sobre inequações logarítmicas

Exercícios de Matemática

Para a resolução de exercícios sobre inequações logarítmicas, é fundamental verificar as condições de existência e saber aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Resolva a inequação logarítmica log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1).

questão 2

Determine o conjunto solução da inequação logarítmica:

log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3)

questão 3

(Fuvest) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1 é o intervalo:

a) ]–∞, – 5/2[

b) ]7/4, ∞[

c) ]–5/2, 0[

d) ]1/3, 7/4[

e) ]0, 1/3[

questão 4

(Ufop – MG) Resolva a inequação log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1.

respostas
Questão 1

Vamos, inicialmente, verificar as condições de existência dos logaritmos:

x² + 2 > 0
x² > – 2
x > √– 2
A inequação não possui solução real.
                    x – 1 > 0                      
                 2x > 1                   
x > 1
     
2

Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos desconsiderá-los e estabelecer a inequação apenas com os logaritmandos:

log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1)
x² + 2 > 2x – 1
x² – 2x + 2 + 1 > 0
x² – 2x + 3 > 0

Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² – 2x + 3 = 0:


Δ = (– 2)² – 413
Δ = 4 – 12
Δ = – 8

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Portanto, a inequação x² – 2x + 3 > 0 também não possui um intervalo real. Pelas condições de existência, podemos concluir que a única solução possível para log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1) é x > ½.

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Questão 2

Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

x – 5 > 0
x > 5
x > 0 x + 3 > 0
x > – 3

A subtração de logaritmos de mesma base equivale a um único logaritmo cujo logaritmando é o quociente dos logaritmandos anteriores e cuja base é preservada.

log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3)

Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos estabelecer uma desigualdade apenas entre os logaritmandos:

x – 5 > x + 3
x           
x – 5 > x ∙ (x + 3)
x – 5 > x² + 3x
x² + x – 3x – 5 > 0
x² – 2x – 5 > 0
x² + 2x + 5 < 0

Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² + 2x + 5 = 0:


Δ = 2² – 4
∙2∙5
Δ = 4 – 40
Δ = – 36

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, x² + 2x + 5 < 0 também não possui um intervalo real. Para determinar o conjunto solução, partiremos então das condições de existência, que fornecem as seguintes soluções para comparação:

Solução da questão 2
Solução da questão 2

Portanto, o conjunto solução de log0,5 (x – 5) – log0,5 (x) > log0,5 (x + 3) é dado por S = {x   | x > 5}.

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Questão 3

Primeiramente vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5
     2
3x – 1 > 0
3x > 1
x > 1
      3

Vamos agora substituir o 1 por log2 2, que são equivalentes. Teremos então a seguinte inequação:

log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > log2 2

Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa com um logaritmo cujo logaritmando é o quociente dos logaritmandos anteriores, temos:

Podemos agora desconsiderar os logaritmos e estabelecer a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

2x + 5 > 2
3x – 1      
2x + 5 > 2 ∙ (3x – 1)
2x + 5 > 6x – 2
2x – 6x > – 2 – 5
4x > – 7
4x < 7
x < 7
     4

Comparando as soluções:

Solução da questão 3
Solução da questão 3

Portanto, a alternativa que compreende o intervalo correto é a letra d, que indica ]1/3, 7/4[.

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Questão 4

Analisando as condições de existência dos logaritmos, temos:

x – 3 > 0
x > 3
x – 2 > 0
x > 2

Como log2 2 = 1, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:

log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < log2 2

Se a soma de logaritmos de mesma base equivale ao logaritmo cujo logaritmando é o produto dos logaritmandos anteriores, temos:

log2 [(x – 3) ∙ (x – 2)] < log2 2

Desconsiderando os logaritmos, podemos manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

(x – 3) ∙ (x – 2) < 2
x² – 3x – 2x + 6 < 2
x² – 5x + 4 < 0

Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de x² – 5x + 4 = 0:


Δ = (– 5)² – 4
14
Δ = 25 – 16
Δ = 9

x = – (– 5) ± √9
     2∙1
x = 5 ± 3
     3
x' = 5 + 3 = 8 = 4
   2        2
x'' = 5 – 3 = 2 = 1
     2      2

Análise do sinal de x² – 5x + 4 < 0
Análise do sinal de x² – 5x + 4 < 0ões, chegamos ao seguinte quadro:

Solução da questão 4
Solução da questão 4

Portanto, o conjunto solução de log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1 é S = ]3, 4[

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