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Exercícios sobre método de completar quadrados

Exercícios de Matemática

Estes exercícios testarão seus conhecimentos para resolução de questões que envolvam o método de completar quadrados. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

O produto entre as raízes da equação x2 – 8x – 9 = 0 é igual a:

a) 5

b) – 5

c) – 9

d) 9

e) – 1

questão 2

Um retângulo possui a largura igual ao comprimento acrescido de quatro unidades. Sabendo que o produto entre a largura e o comprimento desse retângulo menos cinco tem zero como resultado, calcule suas dimensões.

a) x = 0

b) x = 1

c) x = – 5

d) x = – 6

e) x = 0

questão 3

Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono regular que possui 20 diagonais?

a) 8°

b) 135°

c) 1080°

d) 130°

e) 140°

questão 4

O piso de uma sala comercial é retangular e tem 140 m2 de área. As medidas dos lados desse piso são x + 2 e x + 6. Quais são essas medidas?

a) 10 e 10 metros

b) 8 e 8 metros

c) 70 e 70 metros

d) 14 e 14 metros

e) 10 e 14 metros

respostas
Questão 1

Observe que, para essa equação ser um trinômio quadrado perfeito, falta apenas o número 16 no lugar de – 9. Isso acontece porque o termo do meio é duas vezes o primeiro vezes o segundo. Como o primeiro termo é x, o segundo tem que ser 4. O último termo de um trinômio quadrado perfeito é o quadrado do segundo e, portanto, deve ser 16 nesse caso. Sendo assim, somaremos 16 aos dois membros da equação.

x2 – 8x – 9 = 0

x2 – 8x – 9 + 16 = 0 + 16

Para que o lado esquerdo seja trinômio quadrado perfeito, basta remover – 9, passando-o para o outro membro.

x2 – 8x + 16 = 16 + 9

Escrevendo o lado esquerdo em sua forma fatorada e fazendo os cálculos possíveis no lado direito, teremos:

(x – 4)2 = 25

Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros, encontraremos:

√(x – 4)2 = √25

x – 4 = ±5

Assim, x terá dois valores:

x = 5 + 4 = 9 e

x = – 5 + 4 = – 1

O produto entre esses dois valores é

9·(– 1) = – 9

Gabarito: letra C.

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Questão 2

A equação que representa essa situação é a seguinte:

x(x + 4) – 5 = 0

Ela pode ser reescrita da seguinte maneira:

x2 + 4x – 5 = 0

Para que o primeiro membro seja um trinômio quadrado perfeito, seria necessário um 4 no lugar de – 5. Somando 4 nos dois termos da equação, teremos:

x2 + 4x – 5 + 4 = 0 + 4

x2 + 4x + 4 = 4 + 5

x2 + 4x + 4 = 9

Agora reescreveremos a equação fatorando o primeiro membro:

(x + 2)2 = 9

Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros, teremos:

√(x + 2)2 = √9

x + 2 = ± 3

Assim, os dois valores de x são:

x = 3 – 2 = 1

ou

x = – 3 – 2 = – 5

Como x é um dos comprimentos de um retângulo, apenas x = 1 é o resultado dessa questão.

Gabarito: letra B.

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Questão 3

Para resolver o exercício, é necessário descobrir o número de lados desse polígono, depois calcular a soma dos seus ângulos internos e só então descobrir a medida de um ângulo interno único. Para calcular o número de lados de um polígono a partir do número de diagonais, usaremos a seguinte fórmula:

d = n(n – 3)
      2

20 = n(n – 3)
       2

2·20 = n(n – 3)

40 = n2 – 3n

0 = n2 – 3n – 40

É possível calcular o valor de n a partir do método de completar quadrados. Para isso, perceba que – 3n é igual a – 2(3/2)n. Sabendo que esse termo é duas vezes o primeiro vezes o segundo, podemos concluir que o termo que falta para completar o quadrado perfeito é (3/2)2. Somando esse termo aos dois lados da igualdade, teremos:

(3/2)2 + 0 = n2 – 3n – 40 + (3/2)2

9 + 40 = n2 – 3n + 9
4                             4

O lado direito da equação pode ser escrito como o quadrado da diferença:

9 + 40 = (n – 3/2)2
4                             

Resolvendo o lado esquerdo, teremos:

9 + 160 = (n – 3/2)2
4       4                       

169 = (n – 3/2)2
4                     

Fazendo a raiz quadrada dos dois termos, teremos:

√(169/4) = √(n – 3/2)2

13 = ±(n – 3/2)
2                     

Simplificando a equação, encontraremos:

13 = ±2(n – 3/2)

Assim, n pode ter dois resultados: o primeiro considera o segundo membro como positivo e o segundo resultado considera o segundo membro como negativo. Observe:

13 = 2(n – 3/2)

13 = 2n – 2·3/2

13 = 2n – 3

13 + 3 = 2n

16 = 2n

n = 16
      2

n = 8

Já o segundo resultado será:

13 = – 2(n – 3/2)

13 = – 2n + 2·3/2

13 = – 2n + 3

13 – 3 = – 2n

10 = – 2n

n = 10
     –2

n = – 5

O resultado é referente a um número de lados e, por isso, não pode ser negativo. O resultado é, portanto, n = 8.

Agora vamos calcular a soma dos ângulos internos desse polígono:

S = (n – 2)180

S = (8 – 2)180

S = 6·180

S = 1080

Sabendo que o polígono é regular, basta dividir a soma dos ângulos internos por 8, que é a quantidade de ângulos internos desse polígono.

1080 = 135°
8          

Gabarito: letra B.

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Questão 4

Em primeiro lugar, multiplique as expressões algébricas e iguale o resultado a 140, pois o produto do comprimento pela largura de um retângulo é o que determina sua área.

(x + 2)(x + 6) = 140

x2 + 6x + 2x + 12 = 140

x2 + 8x + 12 = 140

x2 + 8x + 12 – 140 = 0

x2 + 8x – 128 = 0

Note que o segundo termo da expressão é igual a 2·4x. Assim, para ser um quadrado perfeito, o terceiro termo da equação acima deveria ser 16. Assim, somaremos 16 aos dois lados da equação e passaremos 128 para o outro lado, deixando apenas o quadrado perfeito do lado esquerdo. Observe:

x2 + 8x – 128 + 16 = 0 + 16

x2 + 8x +16 = 16 + 128

x2 + 8x +16 = 144

Reescrevendo o lado esquerdo como quadrado da soma, teremos:

(x + 4)2 = 144

Agora vamos realizar a raiz quadrada em ambos os membros:

√((x + 4)2) = √144

x + 4 = ± 12

Os dois resultados de x serão:

x = 12 – 4

x = 8

ou

x = – 12 – 4

x = – 16

A medida de x não pode ser – 16, pois se trata de um comprimento.

Logo, os lados desse galpão medem 8 + 2 = 10 m e 8 + 6 = 14 m.

Gabarito: letra E.

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