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Exercícios sobre números reais

Exercícios de Matemática

Estes exercícios sobre números reais exigem conhecimentos sobre suas propriedades básicas e seus subconjuntos. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

Marque cada afirmação como verdadeira ou falsa.

1 – Todo número natural é inteiro?

2 – Todo número inteiro é natural?

3 – Todo número inteiro é racional?

4 – Todo número irracional é racional?

5 – Todo número inteiro é real?

6 – Todo número é real?

questão 2

Dados os números:

0; 144; – 144; 25; – 25; 2,45; – 2,45; 1; – 1; √7; –√7; √–7
                                  4    4 

a) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números naturais?

b) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números inteiros?

c) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números racionais?

d) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números irracionais?

e) Quais desses números pertencem ao conjunto dos números reais?

f) Quais desses números não pertencem a nenhum dos conjuntos acima?

questão 3

Mostre que o número 3,8787... é racional, isto é, pode ser escrito na forma de uma fração.

questão 4

A propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição é uma das propriedades dos números reais. Matematicamente, ela diz o seguinte:

Dados os números reais A, B e C,

A·(B + C) = A·B + A·C

Dados os números reais x e a, calcule os produtos notáveis:

a) (x + a)2

b) (x – a)2

c) (x +a)(x – a)

respostas
Questão 1

1 – Verdadeira.

O conjunto dos números naturais é formado por números inteiros positivos. Portanto, todos eles são inteiros.

2 – Falsa.

O conjunto dos números inteiros inclui o zero e os números negativos. Estes não são naturais.

3 – Verdadeira.

Todo número racional pode ser escrito como uma fração. Para escrever um número inteiro na forma de fração, basta colocar o próprio número como numerador e 1 como denominador.

4 – Falsa.

O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não são racionais.

5 – Verdadeira.

Todos os naturais, inteiros, racionais e irracionais são reais. Esse conjunto é composto pela união dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

6 – Falsa.

Existem outros conjuntos numéricos em que o conjunto dos números reais é apenas um subconjunto.

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Questão 2

a) O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos. Dessa maneira, os únicos elementos pertencentes a esse conjunto são 144 e 25.

b) O conjunto dos números inteiros é formado pelos números positivos, negativos e zero. Portanto, os representantes dos números inteiros nessa lista são: 0; 144; – 144; 25 e – 25.

c) O conjunto dos números racionais é formado por qualquer número que possa ser escrito como uma fração em que o numerador é um número inteiro e o denominador é um número natural. Dessa maneira, qualquer número que cumpra uma das três seguintes exigências é um número racional:

1 – Frações
2 – Números decimais com um número finito de casas após a vírgula
3 – Dízimas periódicas

Números que cumprem uma dessas três exigências podem ser escritos na forma de fração e, por isso, são números decimais. Tendo dito isso, é possível mostrar que qualquer número inteiro é resultado de uma divisão (por isso, pode ser escrito na forma de fração), portanto, os números inteiros também são racionais.

Na lista acima, os números racionais são:

0; 144; – 144; 25; – 25; 2,45; – 2,45; 1 e – 1
                                                         4      4

d) Todos os números que não podem ser escritos na forma de fração são componentes do conjunto dos números irracionais. Os exemplos desses números geralmente possuem um dos dois formatos seguintes:

1 – Decimais com infinitas casas após a vírgula
2 – Raízes não exatas

Na lista acima, os números irracionais são: √7 e –√7

e) O conjunto dos números reais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e irracionais. Portanto, todos os números inteiros, decimais, dízimas periódicas e raízes exatas ou inexatas são números reais.

Na lista acima, os números reais são:

0; 144; – 144; 25; – 25; 2,45; – 2,45; 1; – 1; √7; –√7
                                            4    4 

f) O único número que não é real nessa lista é √–7, pois é impossível encontrar um número real que, multiplicado por ele mesmo, tenha como resultado –7. Contudo, existe um conjunto numérico no qual esse número está enquadrado: O conjunto dos números complexos.

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Questão 3

Para escrever uma dízima periódica na forma de fração, é necessário realizar o seguinte procedimento:

1 – Determine o período da dízima periódica. Período é o número que se repete. No caso desse exercício, 87.

2 – Iguale a dízima a X a fim de definir uma equação.

x = 3,8787...

3 – Multiplique ambos os termos da equação pela potência 10n (n é o número de algarismos do período). Como o número de algarismos do período desse exercício é 2, então multiplicaremos a equação por 102 = 100.

100x = 387,87...

4 – Subtraia da segunda equação a primeira, exatamente como se faz ao resolver sistemas de equações.

100x = 387,8787...
      – x = 3,8787...
99x = 384

Repare que o lado esquerdo da equação será 100x – x e terá 99x como resultado. O lado direito, porém, terá como resultado um número inteiro. Isso acontece pelo seguinte fato: Ao realizar esse tipo de subtração, pode-se subtrair em partes (primeiro, a parte inteira e, posteriormente, a parte decimal). Nesse caso, as partes decimais são iguais e, por isso, sua subtração resulta em zero. Daí, resta apenas a parte inteira.

5 – Realize o seguinte passo da solução de equações na equação resultante:

99x = 384

x = 384
     99

Essa fração é chamada fração geratriz, pois ela dá origem à dízima periódica do exercício. Logo, 3,8787... é um número racional.

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Questão 4

a) Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, teremos:

(x + a)2 =

(x + a)(x + a) =

x2 + ax + ax + a2 =

x2 + 2ax + a2

b) Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, teremos:

(x – a)2 =

(x – a)(x – a) =

x2 – ax – ax + a2 =

x2 – 2ax + a2

c) Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, teremos:

(x + a)(x – a) =

x2 – ax + ax + a2 =

x2 – a2

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