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Exercícios sobre operações com números complexos

Exercícios de Matemática

Para resolver estes exercícios sobre operações com números complexos, é necessário analisar cuidadosamente suas partes real e imaginária. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Considere os seguintes números complexos z1 = 10 + 2i, z2 = 5 – 3i e z3 = – 9 + 5i e calcule a sua soma:

questão 2

Calcule a subtração destes dois números complexos: z1 = 12 – 3i e z2 = 15 + 2i.

questão 3

(Unesp-SP) Se z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i, então z, o conjugado de z, será dado por:

a) −3 − i

b) 1 − 3i

c) 3 − i

d) −3 + i

e) 3 + i

questão 4

(UFSCar-SP) Sejam x, y R e z = x + yi um número complexo.

a) Calcule o produto (x + yi) (1 + i).

b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) (1 + i) = 2 

respostas
Questão 1

Vamos organizar os números complexos para somar de forma separada as partes reais e as partes imaginárias:

z1 + z2 + z3

(10 + 2i) + (5 – 3i) + (– 9 + 5i)

(10 + 5 – 9) + (2 – 3 + 5)i

6 + 4 i

Portanto, a soma dos complexos z1, z2 e z3 é igual a 6 + 4i.

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Questão 2

Organizando os números complexos para efetuar a subtração entre eles:

z1 – z2

(12 – 3i ) – (15 + 2i)

(12 – 15) + (– 3 – 2)i

3 – 5i

A diferença dos complexos z1 e z2 é igual a – 3 – 5i.

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Questão 3

Primeiramente vamos fazer as multiplicações necessárias em z:

z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i

z = (2 + 2i + i + i²) ∙ i

z = (2 + 3i – 1) ∙ i

z = (1 + 3i) ∙ i

z = i + 3i²

z = i + 3 ∙ (– 1)

z = – 3 + i

Agora que encontramos a forma mais simples de z, basta alterar o sinal da parte imaginária para termos seu conjugado:

z = – 3 – i

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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Questão 4

a) Realizando a multiplicação pedida, temos:

(x + yi) ∙ (1 + i)

x + yi + xi + yi²

x + yi + xi + y(– 1)

(x – y) + (x + y)∙i

O produto (x + yi) (1 + i) equivale a (x – y) + (x + y)i.

b) Podemos considerar que 2 escrito na forma complexa equivale a 2 + 0i. Como já determinamos o produto (x – y) + (x + y)∙i, basta que na equação abaixo igualemos as partes reais e também as partes imaginárias:

(x – y) + (x + y)∙i = 2 + 0i

Parte Real

x – y = 2

Parte Imaginária

x + y = 0

Podemos montar um sistema com as equações encontradas e resolvê-lo pelo método da adição:

2x = 2

x = 2

2

x = 1

Substituindo o valor encontrado de x na equação da parte imaginária, temos:

x + y = 0

1 + y = 0

y = – 1

Portanto, para que tenhamos (x + yi) (1 + i) = 2, é necessário que x = 1 e y = – 1.

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