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Exercícios sobre Permutação simples

Exercícios de Matemática

Exercícios propostos sobre permutação simples e suas respectivas soluções. Publicado por: Franciely Jesus Guedes
questão 1

Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

questão 2

Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal?

questão 3

(U.F.Pelotas-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.

  1. Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?
  2. Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas?
  3. Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas e nessa ordem?
questão 4

(Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

  1. Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
  2. Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
respostas
Questão 1

Os números sorteados da mega sena formam uma sequência de seis números. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado, basta calcular: P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720.

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Questão 2

Na palavra NORTE, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5=5!= 5*4*3*2*1 =120. Para sabermos quantos começam com vogal, sabemos que, fixado que a primeira letra é uma vogal, restam apenas quatro posições a serem permutadas. Então temos 4!= 4*3*2*1 = 24. Como temos duas vogais, basta multiplicar 2*24=48. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 começam com vogais.

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Questão 3

Na palavra UFPEL, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

  1. Para sabermos quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas, vamos considerar um bloco de vogais, por exemplo, UE.  Então, basta realizar a permutação como se tivéssemos apenas quatro itens a serem permutados. Então temos P4 = 4*3*2*1 = 24 . Como temos também outro bloco de vogais, EU, o cálculo será análogo ao anterior, portanto basta dobrarmos o último resultado. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 apresentam as vogais juntas.

 

  1. Para calcular quantos anagramas tem as letras UF juntas, o raciocínio é o mesmo do item a, e o resultado também é o mesmo. Só que agora estamos considerando os blocos UF e FU.

 

  1. Para saber quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL juntas, basta considerar que essas letras formam um único bloco, e, assim, teremos apenas a permutação de 3 elementos, U, F e PEL. Como foi fixado que as letras PEL devem aparecer nessa ordem, basta calcular P= 3*2*1 = 6, e não se deve analisar outros grupos. 
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Questão 4
  1. No total, as possíveis permutações de seis algarismos são dadas por P6=6!=6*5*4*3*2*1 = 720. Fixando aquelas que iniciam com o algarismo 1, basta permutar os outros algarismos. Portanto, temos P5=5!= 5*4*3*2*1 =120 números que começam com o algarismo 1.
  2. Escrevendo esses números em ordem crescente, temos a seguinte situação: o primeiro conjunto de números são aqueles que começam com 1, e, conforme calculado no item anterior, formam 120 elementos. O segundo conjunto a ser ordenado são aqueles números que começam com o algarismo 2, e seguindo o mesmo raciocínio, também contém 120 elementos. Segue que temos 6 conjuntos numéricos começando com cada algarismo (1, 2, 3, 4, 5 e 6), cada um com 120 elementos. Queremos saber qual posição ocupa o número 512346. De imediato, sabemos que sua posição deve estar entre 481ª e 600ª, que são as posições ocupadas pelos números que começam com o algarismo 5. Agora, note que 512346 é o menor número desse conjunto. Portanto, sua posição é justamente a posição 481ª. Para saber qual número ocupa a 242ª posição, já sabemos que é um número que começa com o algarismo 3, isso porque até o 120 são os que começam com 1, do 121 até 240 são os que começam com o número 2 e da posição 241 até a posição 360 são aqueles que começam com o algarismo 3. Como queremos o número na posição 242ª, queremos o segundo menor número desse conjunto que inicia com o número 3. Temos que o menor é o número 312456. Para encontrar o segundo menor, basta permutar os dois últimos algarismos; assim, temos que o número que ocupa a posição 242ª é o 312465.
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