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Exercícios sobre Polinômios

Exercícios de Matemática

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Polinômios e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
questão 1

Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 

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questão 2

Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

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questão 3

Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.

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questão 4

(FEI–SP)

Determine A, B e C na decomposição

 

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questão 5

(FAAP–SP)

Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio  p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.

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questão 6

(MACK – SP)

Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2.

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questão 7

(MACK – SP)

Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo.

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questão 8

(FEI – SP)

Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

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questão 9

Quais são os valores de a e b considerando p(x) = – 4x³ + ax² + bx –18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = –18.

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respostas
Questão 1

p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k
p(2) = 4
2 * 2³ – k * 2² + 3 * 2 – 2k = 4
16 – 4k + 6 – 2k = 4
– 4k – 2k = – 16 – 6 + 4
– 6k = –18   *(–1)
6k = 18
k = 3

Temos que o valor de k é igual a 3.
 

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Questão 2

p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
Sabendo que 1 é raiz temos:
p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b = 16

Fazendo p(2) = 25
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52   :(2)
2a + b = 26


a + b = 16
2a + b = 26

a = 16 – b

2 * (16 – b) + b = 26
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6
b = 6

a = 16 – b
a = 16 – 6
a = 10

Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.

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Questão 3

p(x) = x² – mx + 6
p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42  *(–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7

O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
 

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Questão 4

Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 1/3, –1/3 e –2/3.

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Questão 5

a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14
a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14

a = 1
3ac = 6
3ac² + b = 15
ac³ + bd = 14

Dessa forma:

3ac = 6
3 * 1 * c = 6
3c = 6
c = 2

3ac² + b = 15
3 * 1 * 2² + b = 15
12 + b = 15
b = 3

ac³ + bd = 14
1 * 2³ + 3 * d = 14
8 + 3d = 14
3d = 14 – 8
3d = 6
d = 2

Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e 2.
 

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Questão 6

P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes condições:

m – 4 = 0
m = 4

m² – 16 ≠ 0
m² ≠ 16
m ≠ + 4 e – 4

Para m = 4, temos:
(4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4
0x³ + 0x² + 8x + 4
8x +4

Para m = – 4, temos
(–4 –4)x³ + [(–4)² – 16]x² + (–4 + 4)x + 4
–8x³ + 0x² + 0x + 4
–8x³ + 4

Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) seja de grau 2.
 

 

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Questão 7

2m – 1 = 0
2m = 1
m = 1/2

5n – 2 = 0
5n = 2
n = 2/5

3 – 2l = 0
–2l = –3
2l = 3
l = 3/2

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Questão 8

p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c = 0 → c = 0

p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0 = 0 → a + b = 0

q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2

Temos que a = 1, b = – 1 e c = 0

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Questão 9

p(2) = –4 * (2)³ + a * 2² + b * 2 – 18
0 = –4 * 8 + a * 4 + 2b – 18
0 = –32 + 4a + 2b – 18
4a + 2b = 50

p(–1) = –18
–4 * (–1)³ + a * (–1)² + b * (–1) – 18 = – 18
–4 *(–1) + a * (1) – b – 18 = – 18
4 + a – b – 18 = – 18
a – b = – 18 + 18 – 4
a – b = – 4

  

Os valores de a e b são respectivamente 7 e 11.
 

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