Exercícios sobre o ponto de intersecção entre duas retas
Qual é o ponto de encontro entre duas retas concorrentes cujas equações são y = x + 1 e y = 2 – x?
a) P = (2, 3)
b) P = (2, 1/2)
c) P = (1/2, 3/2)
d) P = (1/2, 3)
e) P = (1, 1)
Para resolver esse problema, podemos construir um sistema linear com essas duas equações ou considerar que, se ambas são iguais a y, então podemos igualar o segundo membro da primeira equação ao segundo membro da segunda equação. Observe:
y = y
x + 1 = 2 – x
x + x = 2 – 1
2x = 1
x = 1/2
Para encontrar o valor de y, basta substituir o valor encontrado para x em uma das duas equações:
y = x + 1
y = 1/2 + 1
y = 3/2
O ponto de encontro entre as duas retas, ou seja, o ponto de intersecção entre elas é:
P = (1/2, 3/2)
Gabarito: Alternativa C.
Sejam x e y as coordenadas do ponto de encontro entre as retas de equações – 2x + y = – 1 e x + y = 2, determine x + y.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Para encontrar as coordenadas do ponto de encontro entre duas retas, pode-se usar o sistema formado pelas equações dessas retas ou igualar suas equações quando uma incógnita está isolada. Utilizaremos a segunda alternativa, isolando antes a incógnita y em cada uma das equações.
– 2x + y = – 1
y = 2x – 1
x + y = 2
y = 2 – x
Igualando as duas equações, teremos:
y = y
2x – 1 = 2 – x
2x + x = 2 + 1
3x = 3
x = 3/3
x = 1
Substituindo o valor de x em qualquer uma das equações, teremos:
y = 2 – x
y = 2 – 1
y = 1
A soma dos coeficientes é:
x + y = 1 + 1 = 2
Gabarito: Alternativa A.
Qual a distância do ponto de intersecção das retas de equações – x+2y= 2 e x + y = 2 e a origem do plano cartesiano?
a) √5
b) 2√5
c) 3√5
d) √5/3
e) 2√5/3
Para resolver essa questão, o primeiro passo é determinar o ponto de intersecção entre as duas retas, para, em seguida, encontrar a distância entre esse ponto e a origem do plano cartesiano. Nesse caso, observe que será mais fácil isolar a incógnita x do que a incógnita y. Assim, teremos:
– x = 2 – 2 y
x = – 2 + 2y
x + y = 2
x = 2 – y
y = y
– 2 + 2y = 2 – y
2y + y = 2 + 2
3y = 4
y = 4/3
Substituindo esse valor em uma das equações:
x = 2 – y
x = 2 – 4/3
x = 2/3
A distância entre o ponto (2/3, 4/3) e a origem (0, 0) será:
d2 = (2/3 – 0)2 + (4/3 – 0)2
d2 = (2/3)2 + (4/3)2
d2 = 4/9 + 16/9
d2 = 20/9
d = √20
√9
d = 2√5
3
Gabarito: Alternativa E.
Qual é o produto entre as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas x + y = – 1 e – x + 2y = – 5?
a) 2
b) – 2
c) 1
d) – 1
e) 0
Primeiramente, encontre o ponto de intersecção entre as duas retas. Para tanto, isolaremos a incógnita x em ambas.
x + y = – 1
x = – 1 – y
– x + 2y = – 5
– x = – 5 – 2y
x = 2y + 5
y = y
2y + 5 = – 1 – y
2y + y = – 1 – 5
3y = – 6
y = – 6/3
y = – 2
x = – 1 – y
x = – 1 – (– 2)
x = – 1 + 2
x = 1
O produto entre as coordenadas do ponto é:
1·(– 2) = – 2
Gabarito: Alternativa B.
