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Exercícios sobre Raiz de uma Equação Completa do 2º grau

Exercícios de Matemática

Uma equação do 2º grau pode aparecer de diversas formas. Através de exercícios, encontramos a raiz de uma equação do 2º grau, desde que ela exista dentro do conjunto dos números reais. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

(CESGRANRIO) O maior número que se deve subtrair de cada fator do produto 5x8, para que esse produto diminua de 36 unidades, é:

a)3           b) 5           c) 6           d) 8           e) 9

questão 2

(UFPE) Se x é um número real positivo tal que ao adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como resultado o número x, qual é o valor de x?

a) 1 – √5
       2

b) 1 + √5
      2

c) 1

d) 1 + √3
      2

e) 1 – √5
      

questão 3

Resolva a equação de segundo grau completa: x2 + 3x – 10 = 0.

questão 4

Escreva a equação a seguir de forma reduzida (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1).

respostas
Questão 1

O produto de 5x8 resulta em 40. Se o novo produto diminuirá 36 unidades, então ele valerá 4 (40 – 36 = 4).

De cada fator de 5x8, vamos retirar x unidades. Sendo assim, o produto que resultará em 4 será:

(5 – x)(8 – x) = 4

Multiplicando os termos à esquerda através da propriedade associativa, temos:

40 – 8x – 5x – x2 = 4

x2 – 13x + 40 – 4 = 0

x2 – 13x + 36 = 0

Utilizando a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação, temos:

x = – b ±√∆
        
2.a

Vamos encontrar o valor de ∆:

= b2 – 4.a.c

= (-13)2 – 4.1.36

= 169 – 144

= 25

Vamos encontrar agora o valor de x:

x = – (-13) ±√25
      
2.1

x = 13 ± 5
      
2

x1 = 13 + 5 = 18 = 9
     2         2

x2 = 13 – 5 = 8 = 4
     ​
2       2

Como não temos a alternativa de valor 4, o valor de x1 (x1 = 9) é o resultado mais adequado. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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Questão 2

Interpretando o problema, temos que o inverso de um número real positivo x é 1/x. Sendo assim, temos que:

1 + 1 = x
x            

Sendo x o Mínimo Múltiplo Comum dos termos dessa equação, temos:

1 + x = x
x      

1 + x = x2

x2 – x – 1 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x = – b ±√∆
     
2.a

Vamos encontrar o valor de ∆:

= b2 – 4.a.c

= (-1)2 – 4.1.(-1)

= 1 + 4

= 5

Portanto, o valor de x é dado por:

x = – (-1) ±√5
     
2.1

x = 1 ± √5
   
2

Temos duas opções de respostas. Mas como no enunciado foi ressaltado que x é um número real positivo, então a alternativa correta é a letra b:

x = 1 + √5
      2

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Questão 3

Vamos identificar os coeficientes da equação: a = 1, b = 3 e c = – 10. Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la:

x = – b ±√∆
     
2.a

Vamos encontrar o valor de ∆:

= b2 – 4.a.c

= 32 – 4.1.(-10)

= 9 + 40

= 49

Vamos então encontrar o valor de x:

x = – 3 ±√49
      2.1

x = – 3 ± 7
      
2

x1 = – 3 + 7 = 4 = 2
        2        2

x2 = – 3 – 7 = – 10 = – 5
   2            2

Portanto, as raízes da equação x2 + 3x – 10 = 0 são 2 e – 5.

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Questão 4

No primeiro membro da equação, há um produto notável, conhecido como Produto da soma pela diferença, que nos garante que (a + b)(a – b) = a2 – b2. No segundo membro da equação, podemos aplicar a propriedade distributiva. Sendo assim:

x2 – 12 = 2x – 2

x2 – 2x + 1 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x = – b ±√∆
       2.a

Sendo a = 1, b = – 2 e c = 1 os coeficientes da equação, vamos encontrar o valor de ∆:

= b2 – 4.a.c

= (-2)2 – 4.1.1

= 4 – 4

= 0

Vamos identificar o valor de x através de:

x = – b ±√∆
     
2.a

x = – (-2) ±√0
      
2.1

x = 2 ± 0
     
2

x = 2
      2

x = 1

Portanto, a equação (x – 1)(x + 1) = 2(x – 1) possui uma única raiz x = 1.

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