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Exercícios sobre relação das raízes da equação de 2º Grau

Exercícios de Matemática

Para resolver estes exercícios sobre relação das raízes da equação de 2º grau, é necessário determinar a soma e o produto de suas soluções sem que se conheçam as raízes. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Sejam x' e x'' as raízes da equação do 2° grau x² + 2x – 15 = 0. Determine a soma dos inversos de x' e x''.

questão 2

Considere a equação do 2° grau – 3x² + (n – 5)x + (10 – n) = 0 e n como um número natural qualquer. Determine o valor de n de forma que:

a) o produto das raízes seja – 10/3.

b) a soma das raízes seja – 2.

questão 3

(Fuvest) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x² + 33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5·x1·x2 + 2·(x1 + x2) é:

a) – 33

b) – 10

c) – 7

d) 10

e) 33

questão 4

(Fuvest) Se m e n são raízes da equação 7x² + 9x + 21 = 0, então (m + 7)·(n + 7) vale:

a) 49

b) 43

c) 37

d) 30

e) 30
   
7

respostas
Questão 1

A soma dos inversos de x' e x'' é dada por:

1 + 1 = x' + x''
x'   x''    x' · x''

Sem que seja necessário resolver a equação, podemos utilizar a relação das raízes da equação de 2º grau para identificar x' + x'' e x' · x''. Sejam a = 1, b = 2 e c = – 15 os coeficientes da equação que substituiremos nas igualdades a seguir:

x' + x' = – b = – 2 = – 2
     a        1

x' · x' = c = – 15 = – 15
a       1

Sendo assim, podemos calcular a soma dos inversos de x' e x'':

1 + 1 = x' + x'' = – 2 = 2
x'   x''   x' · x''    – 15  15

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Questão 2

a) Na equação – 3x² + (n – 5)x + (10 – n) = 0, os coeficientes são a = – 3, b = n – 5 e c = 10 – n. Sejam x' e x'' as raízes da equação. Para que seu produto seja – 10/3, aplicaremos uma das relações de Girard:

x' · x' = c
           a

10 = 10 – n
3        – 3

10 = – 10 + n
n = 10 – 10
n = 0

Portanto, para que tenhamos x' · x' = – 10/3, é necessário que n = 0.

b) Para que a soma das raízes x' e x'' seja – 2, teremos (utilizaremos novamente a relação de Girard):

x' + x' = – b
              a

2 = n – 5
         – 3

6 = n – 5
n = – 6 + 5
n = – 1

Então, para que tenhamos x' · x' = – 2, é necessário que n = – 1.

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Questão 3

Sejam x1 e x2 as raízes de uma equação do 2° grau cujos coeficientes são a = 10, b = 33 e c = – 7. Utilizando as relações das raízes da equação de 2° grau, temos:

x1 + x2 = – b = – 33 = – 3,3
     a       10 

x1·x2 = c = – 7 = – 0,7
a     10

Sendo assim, podemos determinar o valor numérico da expressão 5·x1·x2 + 2·(x1 + x2):

5·x1·x2 + 2·(x1 + x2)
5·(– 0,7) + 2·(– 3,3)
3,5 – 6,6
10,1

Portanto, o número inteiro mais próximo de – 10,1 é o – 10, e a alternativa correta é a letra b.

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Questão 4

Primeiramente, vamos desenvolver a expressão (m + 7)·(n + 7) através da propriedade distributiva:

(m + 7)·(n + 7)
m·n + 7·m + 7·n + 7·7
m·n + 7·(m + n) + 49

Observe que na expressão aparece apenas a soma e a multiplicação das raízes da equação 7x² + 9x + 21 = 0. Por essa razão, não precisamos resolver toda a equação, basta aplicar nas relações de Girard os coeficientes da equação (a = 7, b = 9 e c = 21):

m + n = – b = – 9
             a       7

m · n = c = 21 = 3
      a     7

Substituindo os valores de m + n e de m · n, temos:

m·n + 7·(m + n) + 49
3 + 7·(– 9) + 49
7
3 + – 9 + 49
43

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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