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Exercícios sobre Seno, Cosseno e Tangente

Exercícios de Matemática

Exercícios sobre seno, cosseno e tangente de ângulos podem ser resolvidos aplicando os ângulos notáveis. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:

questão 2

(CEFET-MG - adaptado) Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5
             3


a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros, é:

questão 3

(U.F. Juiz de Fora – MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então, usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros?

questão 4

Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo de catetos que medem √3 cm e 1 cm.

questão 5

Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta sua sombra no chão com o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa árvore:

questão 6

Determine os ângulos a e b, sabendo que a soma deles resulta em 90°.

Figura do triângulo citado na questão 6
Figura do triângulo citado na questão 6

respostas
Questão 1

Interpretando a situação descrita no problema, temos a seguinte imagem que ilustra a situação em que a altura atingida pelo avião é dada por x:

Representação da situação-problema da questão 1
Representação da situação-problema da questão 1

Utilizando a fórmula para o cálculo do seno, temos:

sen 30° =    x   
              
1000

 1 =    x   
2    1000

2x = 1000

x = 1000
     
2

x = 500 m

Portanto, o avião atingiu 500 m de altura.

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Questão 2

Podemos ilustrar a situação descrita pelo enunciado do problema com a seguinte figura:

Representação da situação descrita na questão 2
Representação da situação descrita na questão 2

Utilizando a fórmula para o cálculo do cosseno, temos:

cos ɑ = √5
            
3

cos ɑ = x
            
6

5 = x
  3    6

3x = 6.√5

x = 6.√5
      
3

x = 2√5

A distância do ponto de apoio até a parede é de aproximadamente 2√5 metros.

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Questão 3

Primeiramente, vamos visualizar a situação hipotética através do desenho abaixo:

Representação da situação-problema da questão 3
Representação da situação-problema da questão 3

Para resolver esse exercício, é preciso recordar que o cálculo da tangente é dado pelo quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente e que, de acordo com a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, a tangente de 45° é 1 e a tangente de 30 é dada por √3. Sendo assim, temos:
                                           3

tg 45° = x x = tg 45°.y
y         

tg 30° =  x x = tg 30°.(2+ y)
2 + y                 

Encontramos dois valores distintos para a variável x, igualando-os, temos:

tg 45° . y = tg 30° . (2 + y)

1. y = √3 . (2 + y)
3  

y = 1,73 . (2 + y)
3      

3y = 1,73y + 3,46

3 y – 1,73y = 3,46

1,27y = 3,46

y = 3,46
      1,27

y = 2,7 km

Mas nós procuramos pelo valor correspondente a x, podemos então substituir o valor encontrado de y em alguma das equações destacadas em vermelho:

x = tg 45°. y
x = 1 . 2,7
x = 2,7 km

Portanto, a altura da montanha é de, aproximadamente, 2,7 quilômetros. 

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Questão 4

Sejam os ângulos procurados a e b, temos então:

tg a = √3
          
1

tg a = √3

tg a = 60°

tg b = 1
         
3

tg b = √3
         
3  √3

tg b = √3
          
3

b = 30°

Os ângulos agudos procurados são 30° e 60°.

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Questão 5

Para entender melhor a questão, é adequado tentar visualizar a situação do exercício. No desenho abaixo, o segmento de reta amarelo representa um raio solar que é o responsável por originar a sombra da árvore.

Esboço da situação problema da questão 5
Esboço da situação problema da questão 5

Há um ângulo de 45° com o solo, e o comprimento da sombra é a base do triângulo. Pela tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, verificamos que a tangente de 45° é 1. Utilizando a fórmula da tangente, temos:

tg 45° = h
            
15
h = 15 . tg 45°
h = 15 . 1
h = 15 m

Portanto, a altura dessa árvore é de 15 metros. 

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Questão 6

Se a + b = 90° e que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, podemos afirmar que o ângulo formado pelo vértice M é um ângulo reto (90°) e que a hipotenusa desse triângulo é o lado AB. Vamos então utilizar as relações fundamentais do triângulo retângulo.

tg a = cateto oposto = 10 = 2
cateto adjacente   5

tg b = cateto oposto = 5 = 0,5
cateto adjacente 10

Utilizando a tabela trigonométrica, verificamos facilmente que a = 63° e b = 27°

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