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Exercícios sobre Sistemas de Equações do 1º e do 2º Grau

Exercícios de Matemática

Você sabe resolver qualquer sistema de equações? E se misturarmos equações do 1 º e do 2º grau? Que tal resolver estes exercícios? Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Resolva o sistema a seguir utilizando números reais:

Resolva o sistema

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questão 2

Resolva o sistema de equações utilizando números reais:

Resolva este sistema

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questão 3

Resolva o sistema de equações a seguir utilizando números reais:

Resolva o sistema de equações

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questão 4

Um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dimensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área da região determinada por esse triângulo sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que .

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respostas
Questão 1

Vamos resolver este sistema utilizando o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por -1.

1° Passo    Segundo passo

Utilizando Bháskara, podemos resolver a equação encontrada:

y2 + 2y = -1 => y2 + 2y +1 = 0, onde a = 1, b = 2 e c = 1
∆ = b2 - 4 + a + c
∆ = 22 - 4 + 1 + 1
∆ = 4 - 4
∆ = 0

Bháskara
y = - 1

Vamos agora substituir o valor de y na 2ª equação:

3x2y = 3
3x + 2 * (- 1) = 3
3x - 2 = 3
3x = 5
x =   5  
        3

Então a solução do sistema é o par ordenado (  5  , - 1) .
                                                                            3

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Questão 2

Para resolver este sistema é indicado que utilizemos o método da substituição. Portanto, na primeira equação vamos isolar a variável y:

2x - y = 3 => y = 2x - 3

Vamos agora substituir a expressão encontrada para y na segunda equação:

5x +y2 = 1
5x + (2x - 3)2 = 1 → Utilizando o quadrado da soma temos: (2x - 3)2 = 4x2 - 12x +9
5x +4x2 -12x +9 = 1
4x2 -7x + 8 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 4, b = - 7 e c = 8

∆ = b2 - 4 + a + c
∆ = 72 - 4 + 4 +8
∆ = 49 - 128
∆ = - 79

Dentro do conjunto dos Reais, não conseguimos encontrar solução para Raiz de delta. Portanto, não existe par ordenado de números reais que seja solução desse sistema, ou seja, os gráficos das equações não se interceptam em nenhum ponto.

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Questão 3

O método mais indicado para aplicarmos na resolução desse sistema é o método da substituição. Para tanto, vamos isolar a variável x na primeira equação:

x - y = 5 => 5 + y

Vamos agora substituir x na 2ª equação:

x2 + y2 = 13
(5 + y)2 + y2 = 13
25 + 10y + y2 + y2 = 13
2y2 +10y +12 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:

y2 + 5y +6 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = 5 e c = 6

∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 52 - 4 * 1 * 6
∆ = 25 - 24
∆ 
= 1

Temos então:

Passos da equação de bháskara

Se y = -3, então:                                                   Se y = -2, então:
x = 5 + y                                                                   x = 5 + y
x = 5 + (-3)                                                                x = 5 + (-2)
x = 2                                                                         x = 3

Portanto, o sistema possui duas soluções reais: (2, -3) e (3, -2).

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Questão 4

Antes de resolvermos essa questão é recomendado que você faça uma revisão sobre triângulo retângulo e sobre o cálculo de sua área.

Triângulo e a medida dos lados 

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

Hipotenusa2 = cateto2 = cateto2
132 = x2 = y2 => x2 = y2 = 169

Pela definição de perímetro, podemos afirmar que:

x + y +13 = 30
x + y = 17

Podemos então montar o sistema de equações:

Sistema de Equação

Aplicando o método da substituição, podemos isolar a variável x na segunda equação:

x + y = 17
x = 17 - y

Vamos agora substituir na primeira equação a expressão encontrada para x:

x2 + y2 = 169
(17 - y)2 + y2 = 169
289 - 34y + y2 +y2 = 169
2y2 - 34y + 120 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:

y2 - 17y + 60 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = -17 e c = 60
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = (-17)2 - 4 * 1 * 60
∆ = 289 - 240
∆ = 49

Temos então:

Resolução da Equação

Se y = 5, então:                                                Se y = 12, então:
x = 17 - y                                                              x = 17 - y
x = 17 - 5                                                              x = 17 - 12
x = 12                                                                   x = 5

Pelo enunciado do problema, temos que x<y, então o resultado (12,5) não é válido, logo o sistema possui como solução: (5,12). Portanto, a área do triângulo pode ser calculada por:

Demonstração da Fórmula da Área

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