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Exercícios sobre Soma de uma PG Finita

Exercícios de Matemática

Estes exercícios sobre a soma de uma pg são resolvidos através da fórmula do termo geral associada à fórmula da soma dos termos de uma pg. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

(Vunesp) Dado x0 = 1, uma sequência de números x1, x2, x3, … satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro n ≥ 1, em que a é uma constante não nula.

a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa sequência.

b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + … + x8.

questão 2

(UFAM) Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 14 e seu produto é 64, então sendo a, b e c os três primeiros termos, o valor de a + b2 + c3 é igual a:

a) 14

b) 64

c) 16

d) 08

e) 32

questão 3

Qual é a quantidade de elementos da PG finita (1, 2, 4, …), sabendo que a soma dos termos dessa PG é 1023?

questão 4

Uma fábrica de chocolates inaugurada em 2010 produziu 1000 ovos de páscoa nesse mesmo ano. Considerando que sua produção aumentou em 50% a cada ano, em 2015, o dono da fábrica poderá dizer que em toda a história da fábrica foram produzidos quantos ovos?

respostas
Questão 1

Nesse exercício, estamos lidando com uma progressão geométrica (PG) de razão q = a, de modo que a PG pode ser expressa como: (ax0, ax1, ax2, …), em que o a1 = ax0, a2 = ax1, …, lembrando que x0 = 1.

a) Se a razão a é 2, podemos identificar o primeiro termo da progressão:

a1 = ax0

a1 = 2.1

a1 = 2

Agora que identificamos o primeiro termo da sequência, podemos identificar o a11 utilizando a fórmula do termo geral:

an = a1 . qn – 1

a11 = 2 . 211 – 1

a11 = 2 . 210

a11 = 211

a11 = 2048

O décimo primeiro termo dessa sequência é o número 2048.

b) Se a razão a é 3, vamos procurar o primeiro termo da progressão:

a1 = ax0

a1 = 3.1

a1 = 3

Sendo conhecido o primeiro termo da progressão, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:

Sn = a1 . 1 – qn
                 
1 – 3

S8 = 3 . (– 6560)
              (-2)

S8 = – 19680
        2

S8= 9840

Portanto, a soma dos oito termos da progressão é 9840.

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Questão 2

Podemos escrever essa progressão geométrica da seguinte forma: (x/q, x, x.q). Visto que é uma progressão em que desconhecemos os termos, mas sabemos que q < 1, pois a PG é decrescente, se multiplicarmos esses termos da PG, encontraremos o valor 64. Façamos essa soma:

x . x . xq = 64
q                   
x3 = 64
x = 4

Façamos agora a soma dos três termos da PG, que deve resultar em 14:

x + x + xq = 14
q                     

x + xq + xq² = 14
q      

x + xq + xq² = 14q

Sabendo que x = 4, podemos substituir esse valor de x na equação:

x + xq + xq² = 14q

4 + 4q + 4q² = 14q

4q² – 10q + 4 = 0

2q² – 5q + 2 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:

= b2 – 4.a.c

= (– 5)2 – 4.2.2

= 25 – 16

= 9

q = – b ± √∆
       2.a

q = – (– 5) ± √9
      
2.2

q = 5 ± 3
    
4

q1 = 5 + 3               q2 = 5 – 3
​          
4                            4   

q1 = 2                     q2 = ½

Encontramos dois possíveis valores para a razão. Mas como a PG é decrescente, a razão deve ser menor que um, portanto, o único valor que é interessante para esse exercício é a razão q2 = ½. Lembrando que o valor de x é 4, vamos identificar os três termos dessa PG:

a = x = 4 = 8
 ​
q   ½

b = x = 4

c = x.q = 4.½ = 2

Mas o exercício questionou acerca do valor da expressão a + b2 + c3, vamos resolvê-la então:

a + b2 + c3

8 + 42 + 23

8 + 16 + 8

32

Portanto, a + b2 + c3 = 32. A alternativa correta é a letra e.

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Questão 3

Sabemos que o termo a1 vale 1 e facilmente podemos ver que a razão q é 2. Vamos então descobrir o número n de termos dessa sequência:

Sn = a1 . 1 – qn
                
1 – q

1023 = 1 . (1 – 2n)
             
1 – 2

1023 = 1 – 2n
           
1

1023 = 1 – 2n
1023 – 1 = – 2n
2n = 1024
2n = 210
n = 10

Essa PG finita possui dez elementos.

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Questão 4

Se em 2010 a fábrica produziu 1000 ovos e em 2011 produziu 50% a mais, podemos afirmar que em 2011 foram produzidos:

1000 + 0,5.1000
1000 + 500
1500

Se a cada ano vemos o mesmo crescimento, temos então uma PG crescente, em que a1 = 1000 e a2 = 1500. Para encontrar a razão q, basta dividir a2 por a1:

q = 1500
      1000

q = 1,5

Contando com a páscoa de 2015, nesse ano a fábrica terá registrado a produção de seis anos. Portanto, nossa PG terá 6 termos. Sabendo que a1 = 1000 e q = 1,5, temos:

Sn = a1 . 1 – qn
               
1 – q

S6 = 1000 . 1 – (1,5)6
                 
1 – 1,5

S6 = 1000 . 1 – (3/2)6
                   
0,5

S6 = 1000 . 1 – (729/64)6
                     
0,5

S6 = 1000 . 1 – 11,390625
                  0,5

S6 = 1000 . – 10,390625
                   
0,5

S6 = 1000 .20,78125
S6 = 20781,25

A empresa terá produzido aproximadamente 20.781 ovos de páscoa.

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