Exercícios sobre matriz identidade
Esta lista de exercícios possui questões sobre matriz identidade, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.
Uma matriz é considerada matriz identidade se:
A) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos forem diferentes de 1.
B) os elementos da diagonal principal forem iguais a 0 e os demais elementos forem iguais a 1.
C) os elementos da diagonal principal forem diferentes de 0 e os demais elementos forem iguais a 1.
D) os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0.
Sobre a matriz identidade In e a matriz quadrada An, com todos os elementos diferentes de 0, julgue as afirmativas a seguir:
I)
II)
III)
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I está correta.
B) Somente a afirmativa II está correta.
C) Somente a afirmativa III está correta.
D) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
E) Todas as afirmativas estão corretas.
A soma entre as matrizes A e B gera matriz identidade de ordem 2:
Então, o valor de a + b + c + d é:
A) 2
B) 1
C) 0
D) - 1
E) - 2
Nas alternativas a seguir, marque aquela que possui uma matriz identidade:
A)
B)
C)
D)
E)
O produto entre as matrizes
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
(Fuvest) Considere a matriz:
Sabemos que a é um número real e que A admite inversa A-1, cuja primeira coluna é:
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A-1 é igual a:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
As matrizes
A) 1,75
B) 1,50
C) 1,25
D) 0,75
E) 0,25
Duas matrizes, A e B, são matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que A é a matriz inversa de B, então det(BA) é igual a:
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
(Udesc) Sendo a matriz
igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2x é:
A) - 4
B) 6
C) 4
D) 8
E) - 8
Ao calcular o produto entre as matrizes A e B, foi encontrada como resposta a própria matriz A. Sabendo que essas matrizes são de ordem 3, podemos afirmar que B é matriz:
A) nula de ordem 3.
B) inversa da matriz A.
C) unitária de ordem 3.
D) identidade de ordem 3.
E) linha de ordem 3.
Considere a matriz A = [aij]2x2, tal que:
A alternativa que contém essa matriz é:
A)
B)
C)
D)
E)
Sobre a matriz identidade, julgue as afirmativas a seguir:
I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada.
II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal.
III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I está incorreta
B) Somente a afirmativa II está incorreta
C) Somente a afirmativa III está incorreta
D) Todas as afirmativas estão corretas.
Alternativa D
Em uma matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais elementos são iguais a 0.
Alternativa A
A matriz identidade é o elemento neutro do produto entre as matrizes. Sendo assim, ao multiplicarmos a matriz identidade por uma matriz A qualquer, esse produto vai ter como resultado a própria matriz A.
Alternativa E
Sabemos que A + B = I:
a + 4 = 0
a = - 4
b - 1 = 0
b = 1
3 + c = 1
c = 1 - 3
c = - 2
- 2 + d = 1
d = 1 + 2
d = 3
Temos que:
a + b + c + d = - 4 + 1 - 2 + 3 = - 2
Alternativa D
Analisando as matrizes apresentadas, percebemos que a única que possui diagonal principal igual a 1 e os demais termos todos iguais a zero é a alternativa D, que apresenta a matriz identidade de ordem 3.
Alternativa C
Sabemos que:
Calculando o produto entre a segunda linha da matriz A e a primeira coluna da matriz B:
5a - 15 = 0
5a = 15
a = 15 : 5
a = 3
Agora, calculando o valor de b por meio do produto entre a primeira linha da matriz A e a segunda linha da matriz B:
2b + 6 = 0
2b = - 6
b = - 6 : 2
b = - 3
Calculando a soma:
a + b = 3 - 3 = 0
Alternativa A
Sabemos que o produto entre uma matriz e a sua inversa é igual à matriz identidade:
Calculando o produto entre a segunda linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz:
(a - 1) (2a - 1) + (a + 1) (- 1) = 0
2a² - a - 2a + 1 - a - 1 = 0
2a² - 4a = 0
Nessa equação, colocando a em evidência, temos que:
a(2a - 4) = 0
Assim, a = 0 ou 2a - 4 = 0, mas note que a deve ser diferente de 0, pois se ele for zero, teremos matriz nula, logo nos resta a opção de que 2a - 4 = 0.
2a - 4 = 0
2a = 4
a = 4 : 2
a = 2
Sendo a = 2:
Sobre a matriz B, sabemos que:
Para encontrar o valor da soma da diagonal principal, encontraremos o valor de c:
Da multiplicação, obtemos:
2b + 5c = 0
1b + 3c = 1
Na segunda equação, podemos isolar b:
1b + 3c = 1
b + 3c = 1
b = 1 - 3c
Substituindo na primeira equação:
2(1 - 3c) + 5c = 0
2 - 6c + 5c = 0
2 - c = 0
c = 2
A soma dos termos da diagonal principal da matriz inversa é:
2 + 3 = 5
Alternativa D
Como as matrizes são inversas, sabemos que o produto entre elas é igual à matriz identidade:
Multiplicando a segunda linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B:
2 + 4x = 0
4x = - 2
x =
x = - 0,5
Agora, para calcular o valor de y, faremos a primeira linha da matriz A vezes a segunda coluna da matriz B:
- 2 ∙ 5 + 8y = 0
- 10 + 8y = 0
8y = 10
y =
y = 1,25
Então a soma é:
x + y = - 0,5 + 1,25 = 0,75
Alternativa D
Como a matriz A é a inversa da matriz B, o produto entre ambas, BA, é igual à matriz identidade de ordem n.
De modo geral, a matriz identidade possui diagonal principal com termos iguais a 1 e os demais termos iguais a 0. Sendo assim, o determinante de BA é igual ao determinante da matriz identidade, e o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1.
Alternativa D
Sabemos que:
x² - 6x + 9 = 0 (I)
x² - 3x - 4 = 1 (II)
Fazendo a subtração I - II, temos que:
0x² - 3x + 11 = - 1
- 3x = - 1 - 11
- 3x = - 12 (- 1)
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
Se x = 4, então o valor de 2x = 2 ⋅ 4 = 8.
Alternativa D
B deve ser a matriz identidade, já que é a matriz identidade o elemento neutro da multiplicação entre matrizes.
Alternativa D
Sabemos que essa matriz é 2x2, então os seus termos são:
Logo:
Substituindo os valores, encontraremos a matriz identidade de ordem 2, ou seja:
Alternativa C
I) A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada. (verdadeiro)
A matriz identidade é sempre uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, existe matriz identidade de qualquer ordem, desde que ela seja quadrada.
II) A matriz identidade é sempre uma matriz diagonal. (verdadeira)
A matriz identidade possui os termos da diagonal iguais a 1 e os demais termos iguais a zero, logo ela é uma matriz diagonal.
III) A matriz identidade é o elemento neutro da soma de matrizes. (falsa)
A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, e não da soma.