Exercícios sobre matriz simétrica
Teste seus conhecimentos por meio desta lista de exercícios sobre matriz simétrica, a matriz cuja sua transposta é ela mesma.
Determine o valor de x e y sabendo que a matriz M é simétrica.
A) x = 8 e y = 7
B) x = 6 e y = 9
C) x = 10 e y = 9
D) x = 10 e y = 5
E) x = 5 e y = 7
Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2.
II. Toda matriz identidade é simétrica.
III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica.
A) Apenas o item I é falso.
B) Todos os itens são verdadeiros.
C) Somente os itens I e II são verdadeiros.
D) Temos apenas um item verdadeiro.
E) Todos os itens são falsos.
Considere que a matriz A é simétrica, de ordem 2x2, e obedece à lei de formação:
\(a = \begin{cases} a_{ij}=sen\left(i\pi\right),\ se\ i=1\ \quad \\ a_{ij}=\cos{\left(i\pi\right)},\ se\ i\neq1\ e\ i=j & \quad \end{cases}\)
Determine a matriz B que satisfaz a equação matricial A+B = 0:
A)
B)
C)
D)
E)
Determine o valor de a e b sabendo que a matriz A é simétrica.
A) a = 4 e b = 7
B) a = 5 e b = 1
C) a = 1 e b = 6
D) a = 3 e b = 5
E) a = 5 e b = 7
Sabendo que a matriz simétrica N de ordem 2x2 obedece à lei de formação \(a = \begin{cases} a_{12}=3\ \quad \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j & \quad \end{cases}\), podemos afirmar que N é:
A)
B)
C)
D)
E)
Sendo
A) N é uma matriz simétrica.
B) M é uma matriz transposta de N.
C) M é matriz simétrica.
D) P é matriz simétrica.
E) N é matriz nula.
A) x = 7 e y = 2
B) x = 7 e y = 7
C) x = 2 e y = 2
D) x = 2 e y = 7
E) x = 1 e y = 6
A) 65
B) -65
C) -51
D) 51
E) 34
Sejam X e Y matrizes 2x2 satisfazendo a expressão X∙Y+Y∙X=0. Sabendo que X é matriz simétrica e Y é igual à transposta da matriz X, podemos afirmar que:
A) O determinante de X é 1.
B) O determinante de Y é 1.
C) X é matriz identidade.
D) Y é matriz identidade.
E) X e Y são matrizes nulas.
Sobre a definição de matriz simétrica, classifique os itens abaixo em verdadeiros ou falsos.
I. Toda matriz nula é simétrica.
II. Toda matriz identidade é simétrica.
III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade.
IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica.
V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada.
A) Dois itens verdadeiros.
B) Um item verdadeiro.
C) Quatro itens verdadeiros.
D) Três itens verdadeiros.
E) Todos os itens são verdadeiros.
Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.
I. A matriz M é simétrica.
II. A matriz B é simétrica.
III. A matriz C é simétrica.
IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica.
A) Dois itens verdadeiros.
B) Um item verdadeiro.
C) Quatro itens verdadeiros.
D) Três itens verdadeiros.
E) Todos os itens são verdadeiros.
Alternativa B.
Observe que o enunciado afirma que a matriz é simétrica, logo os elementos a12 e a21 devem ser iguais. Na figura abaixo isso é claro, e podemos concluir que x = 8.
Alternativa D.
Como o enunciado nos traz que a matriz é uma matriz simétrica, primeiro analisaremos 4 termos dessa matriz em específico:
Analisando a matriz, temos que
Sabemos que M é matriz simétrica, então a12 = a21 e a32 = a23. Sendo assim, temos que:
Calculando o valor de y, temos que:
Então temos que x = 10 e y = 5.
Alternativa D.
I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2. (falso)
Existem matrizes simétricas de qualquer ordem.
II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)
Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade para ter
III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica. (falso)
Existem matrizes nulas que não são quadradas, condição necessária para serem simétricas.
Alternativa D.
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.
a21 = 0 (da definição de matriz simétrica, pois a12 = a 21)
Pelo sistema de equação matricial, temos que B = -A:
Alternativa B.
Analisaremos os termos em destaque:
Temos que:
Ao afirmar que A é matriz simétrica, concluímos que a12=a21 e a32=a23. Sendo assim, temos que:
Efetuando a soma das duas linhas:
Logo a=5.
Substituindo esse valor na segunda linha do sistema:
Alternativa C.
Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.
Como a matriz N é simétrica, temos que
Alternativa C.
A alternativa A é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 3 deveriam ser iguais.
A alternativa B é falsa. As matrizes M e N possuem elementos distintos. Numa matriz transposta o que muda é a ordem dos elementos e não seus valores.
A alternativa C é verdadeira. Os elementos
A alternativa D é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 7 deveriam ser iguais.
A alternativa E é falsa, pois a matriz possui elementos diferentes de zero.
Alternativa C.
Pela definição de matriz simétrica, temos que
Alternativa B.
Pela definição de matriz simétrica, temos que:
A partir disso, concluímos que x = 8 e y = 6. Somando os termos dessa matriz e multiplicando por -1, obtemos
Alternativa E.
Do fato de a matriz X ser simétrica temos X = Y, logo temos que
Escrevendo esse produto de forma genérica:
Do resultado acima concluímos que a = 0, e b = 0, e c = 0.
Logo, as matrizes X e Y são matrizes nulas.
Alternativa A.
I. Toda matriz nula é simétrica. (falso)
Existem matrizes nulas que não são quadradas, logo não são simétricas.
II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)
Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade de haver
III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade. (falso)
Existem matrizes simétricas com elementos da diagonal principal diferentes de 1, logo não são simétricas.
IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica. (verdadeiro)
Essa é a definição de matriz simétrica.
V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada. (falso)
É uma consequência que a matriz simétrica seja quadrada.
Alternativa B.
I. A matriz M é simétrica. (falso)
M não é uma matriz simétrica, pois os números 7 e 8 são diferentes, além de 6 e 0 serem diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.
II. A matriz B é simétrica. (verdadeiro)
Os elementos fora da diagonal principal são vistos como espelhados por ela.
III. A matriz C é simétrica. (falso)
C não é uma matriz simétrica, pois os números -1 e 8 são diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.
IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica. (falso)
O item II ser verdadeiro torna esse item falso.