Exercícios sobre Sistemas de Equações do 1º e do 2º Grau
Você sabe resolver qualquer sistema de equações? E se misturarmos equações do 1 º e do 2º grau? Que tal resolver estes exercícios?
Um determinado triângulo retângulo possui uma hipotenusa que mede 13 cm e seus catetos possuem dimensões desconhecidas, digamos que essas medidas podem ser chamadas de x e y. Descubra a área da região determinada por esse triângulo sabendo que seu perímetro é de 30 cm e que x < y.
Vamos resolver este sistema utilizando o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por -1.
Utilizando Bháskara, podemos resolver a equação encontrada:
y2 + 2y = -1 => y2 + 2y +1 = 0, onde a = 1, b = 2 e c = 1
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 22 - 4 * 1 * 1
∆ = 4 - 4
∆ = 0
y
= - 1
Vamos agora substituir o valor de y na 2ª equação:
3x + 2y = 3
3x + 2 * (- 1) = 3
3x - 2 = 3
3x = 5
x = 5
3
Então a solução do sistema é o par ordenado ( 5 , - 1) .
3
Para resolver este sistema é indicado que utilizemos o método da substituição. Portanto, na primeira equação vamos isolar a variável y:
2x - y = 3 => y = 2x - 3
Vamos agora substituir a expressão encontrada para y na segunda equação:
5x + y2 = 1
5x + (2x - 3)2 = 1 → Utilizando o quadrado da soma temos: (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9
5x + 4x2 -12x +9 = 1
4x2 - 7x + 8 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 4, b = - 7 e c = 8
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 72 - 4 * 4 * 8
∆ = 49 - 128
∆ = - 79
Dentro do conjunto dos Reais, não conseguimos encontrar solução para
. Portanto, não existe par ordenado de números reais que seja solução desse sistema, ou seja, os gráficos das equações não se interceptam em nenhum ponto.
O método mais indicado para aplicarmos na resolução desse sistema é o método da substituição. Para tanto, vamos isolar a variável x na primeira equação:
x - y = 5 => x = 5 + y
Vamos agora substituir x na 2ª equação:
x2 + y2 = 13
(5 + y)2 + y2 = 13
25 + 10y + y2 + y2 = 13
2y2 + 10y + 12 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 + 5y + 6 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = 5 e c = 6
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = 52 - 4 * 1 * 6
∆ = 25 - 24
∆ = 1
Temos então:
Se y = -3, então: Se y = -2, então:
x = 5 + y x = 5 + y
x = 5 + (-3) x = 5 + (-2)
x = 2 x = 3
Portanto, o sistema possui duas soluções reais: (2, -3) e (3, -2).
Antes de resolvermos essa questão é recomendado que você faça uma revisão sobre triângulo retângulo e sobre o cálculo de sua área.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
Hipotenusa2 = cateto2 = cateto2
132 = x2 + y2 => x2 + y2 = 169
Pela definição de perímetro, podemos afirmar que:
x + y +13 = 30
x + y = 17
Podemos então montar o sistema de equações:
Aplicando o método da substituição, podemos isolar a variável x na segunda equação:
x + y = 17
x = 17 - y
Vamos agora substituir na primeira equação a expressão encontrada para x:
x2 + y2 = 169
(17 - y)2 + y2 = 169
289 - 34y + y2 + y2 = 169
2y2 - 34y + 120 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 - 17y + 60 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = -17 e c = 60
∆ = b2 - 4 * a * c
∆ = (-17)2 - 4 * 1 * 60
∆ = 289 - 240
∆ = 49
Temos então:
Se y = 5, então: Se y = 12, então:
x = 17 - y x = 17 - y
x = 17 - 5 x = 17 - 12
x = 12 x = 5
Pelo enunciado do problema, temos que x