Exercícios sobre centro de massa.
(Cesgranrio) O centro de massa de um corpo é o ponto no qual se considera que toda a massa do corpo esteja concentrada. Essa é uma consideração útil para o cálculo de diversos efeitos.
O centro de massa de um corpo
a) está sempre dentro do corpo.
b) coincide com o centroide sempre que o corpo for simétrico.
c) coincide com o centro de gravidade, bastando, para isso, que o corpo seja simétrico.
d) coincide sempre com o centro de gravidade e com o centroide, independentemente da simetria.
e) coincide com o centro de gravidade se o corpo estiver sob o efeito de um campo gravitacional uniforme.
LETRA E
O centro de massa do corpo coincide com o centro de gravidade se o corpo estiver sob o efeito de um campo gravitacional uniforme ou se o corpo for uma figura geométrica regular. Para entender melhor o conceito de centro de massa, clique aqui.
Dentre as alternativas abaixo, qual delas não é uma situação em que precisamos aplicar o centro de massa?
a) fabricação de condutores elétricos.
b) construção de pontes.
c) fabricação de automóveis.
d) criação de móveis.
e) construção de edifícios.
LETRA A
O centro de massa é importante para as construções de pontes, edifícios, casas, portas, janelas, enfim, tudo aquilo que necessita de equilíbrio, mas não para a fabricação de condutores elétricos.
Determine a posição de uma partícula A de 2 kg no eixo y, sabendo que a massa de uma partícula B é 5 kg, posicionada no ponto -1 do eixo y e que o centro de massa no eixo y é 10.
a) 30,0
b) 32,5
c) 35,0
d) 37,5
e) 40,0
LETRA D
Calcularemos a posição da partícula A através da fórmula do centro de massa no eixo y.
\(y_{CM} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2}{m_1 + m_2}\)
\(10 = \frac{2 \cdot y_1 + 5 \cdot (-1)}{2 + 5}\)
\(10 = \frac{2 \cdot y_1 -5}{7}\)
\(2\cdot y_1 = (10 \cdot 7) +5\)
\(2\cdot y_1 = 75\)
\(y_1 = \frac{ 75}{2}\)
\(y_1 = 37,5\)
Três corpos de massa 5 kg estão posicionados nas posições -2, 6 e 0 de um eixo x. A partir dessas informações determine o centro de massa delas ao longo desse eixo.
a) 15
b) 32
c) 45
d) 34
e) 12
LETRA C
Calcularemos o centro de massa no eixo x:
\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{5 \cdot (-2) + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 0}{5 + 5 + 5} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{-10 + 30 + 0}{15} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{20}{15} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{4}{5} \)
Qual deve ser a posição do centro de massa de um sistema de partículas de 10 kg posicionadas nos pontos P1 = (0,1); P2 = (2,3); P3 = (-4,-5).
a) (-1/3 ; 2)
b) (-2/3 ; 3)
c) (0; 1)
d) (4/3; 4)
e) (0,5; 5)
LETRA B
Primeiramente, calcularemos o centro de massa no eixo x:
\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{10 \cdot 0 + 10 \cdot 2 + 10 \cdot (-4)}{10 + 10 + 10} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{0 + 20 - 40}{30} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{- 20}{30} \)
\(x_{\text{CM}} = - \frac{ 2}{3} \)
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y:
\(y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{10 \cdot 1 + 10 \cdot 3 + 10 \cdot (-5)}{10 + 10 + 10} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{10 + 130 - 50}{30} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{90}{30} \)
\(y_{\text{CM}} = 3 \)
Determine a posição de uma partícula X de 3 kg no eixo x, sabendo que a massa de uma partícula Y é 2 kg, posicionada no ponto -2 do eixo y, e que o centro de massa no eixo y é 0.
a) 0
b) 5/9
c) 6/7
d) 4/3
e) 1/2
LETRA D
Calcularemos a posição da partícula X através da fórmula do centro de massa no eixo x.
\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 }{m_1 + m_2 } \)
\(0 = \frac{3 \cdot x_1 + 2 \cdot (-2)}{3 + 2} \)
\(0 = \frac{3 \cdot x_1 -4}{5} \)
\(3 \cdot x_1 = (0 \cdot 5) + 4 \)
\(3 \cdot x_1 = 4 \)
\(x_1 = \frac{4}{3}\)
O centro de massa de dois corpos está localizado na posição (0,0), isso significa que:
a) A massa da partícula 1 é nula.
b) A posição da partícula 1 é nula.
c) A massa da partícula 2 é nula.
d) A posição da partícula 2 é nula.
e) Nada.
LETRA E
O centro de massa de dois corpos está localizado na posição (0,0). Isso não significa nada, já que a massa das partículas ou a posição delas pode ser nula como também pode não ser.
Com base nos seus estudos a respeito do centro de massa, responda em qual dessas áreas da Física ele é estudado:
a) Cinemática
b) Dinâmica
c) Estática
d) Hidrostática
e) Hidrodinâmica
LETRA C
A Estática é a área da Mecânica responsável por investigar as condições de equilíbrio dos corpos e partículas. Em razão disso, o centro de massa é estudado nela.
Determine o centro de massa entre dois corpos de massas m1 = 1 kg e m2 = 0,5 kg localizados nas coordenadas (-9,0) e (0,6).
a) (-6,2)
b) (-3,1)
c) (0,0)
d) (3,-1)
e) (6,-2)
LETRA A
Primeiramente, calcularemos o centro de massa no eixo x:
\(x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{1 \cdot (-9) + 0,5 \cdot 0}{1 + 0,5} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{-9 + 0}{1,5} \)
\(x_{\text{CM}} = -6 \)
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y:
\(y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2}{m_1 + m_2} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{1 \cdot 0 + 0,5 \cdot 6}{1 + 0,5} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{0+3}{1,5} \)
\(y_{\text{CM}} = 2 \)
Três corpos de massa 2 kg estão posicionados em 1, 4 e -5 em um eixo y. A partir dessas informações, determine o centro de massa deles ao longo desse eixo.
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
LETRA E
Calcularemos o centro de massa no eixo y:
\(y_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-5)}{2 + 2 + 2} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{2 + 8 - 10}{6} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{0}{6} \)
\(y_{\text{CM}} =0 \)
Calcule o centro de massa de um retângulo, sabendo que a sua altura é de 2 metros e a sua base é de 4 metros.
a) (-1,-2)
b) (1,2)
c) (-1,2)
d) (1,-2)
e) (0,0)
LETRA B
Para localizar o centro de massa de um retângulo é necessário encontrar a sua posição no eixo x, dada pela metade do valor de sua base:
\(x_{\text{CM}} = \frac{b}{2} \)
\(x_{\text{CM}} = \frac{2}{2} \)
\(x_{\text{CM}} = 1 \)
Já a sua posição no eixo y é dada pela metade do valor de sua altura:
\(y_{\text{CM}} = \frac{h}{2} \)
\(y_{\text{CM}} = \frac{4}{2} \)
\(y_{\text{CM}} = 2\)
Quais das alternativas apresentam as unidades de medidas correspondentes às grandezas físicas estudadas na massa específica?
I. A posição do centro de massa é medido em metros quadrados.
II. A velocidade do centro de massa é medida em metros por segundo.
III. A aceleração do centro de massa é medida em metros por segundo.
IV. A massa da partícula é medida em quilograma.
V. A força é medida em Newton por segundo.
Está correta a letra:
a) Alternativas I e II.
b) Alternativas III e IV.
c) Alternativas I e III.
d) Alternativas II e IV.
e) Alternativas I e IV.
LETRA D
Estão corretas as alternativas II e IV. Abaixo vemos a correção em vermelho das alternativas incorretas.
I. Incorreta. A posição do centro de massa é medido em metros.
II. Correta.
III. Incorreta. A aceleração do centro de massa é medida em metros por segundo quadrado.
IV. Correta.
V. Incorreta. A força é medida em Newton.
