Exercícios sobre a Gravitação Universal

À medida que a Terra se aproxima do Sol, sua velocidade é aumentada. A força de atração gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa o centro entre dois corpos (no caso Terra e Sol) e como a distância entre Terra e Sol no periélio é mínima, a força de atração gravitacional entre eles é máxima, fazendo com que a Terra seja acelerada, elevando sua velocidade a um valor máximo.

R_t = 150000000 km = 1,5.10¹¹m

R_v = 108000000 km = 1,08.10¹¹m

Para Vênus, a lei dos períodos ficará da seguinte forma:

(224,7)²/(1,08.10¹¹)³ = cte  -  I

Para a Terra, a lei dos períodos ficará da seguinte forma:

Tt²/(1,5.10¹¹)³ = cte  -  II

Substituindo I em II temos que:

(222,7)²/(1,08.10¹¹)³ = Tt²/(1,5.10¹¹)³

1,08.10³³. Tt² = (222,7)².(1,5.10³³)

Tt² = (224,7)².(1,5³.10³³)/1,08³.10³³

Tt² = (222,7)².(1,5³.)/1,08³

Tt= [(222,7)².(1,5³.)/1,08³]^1/2

Tt = (222,7.1,5/1,08).[1,5/1,08]^1/2

Tt = 309,305.1,18

Tt = 365 * dias

A Força de atração gravitacional de dois pontos materiais (esferas) é calculada pela seguinte relação:

F = (G.M.m)/d²

Logo, temos que a força de atração gravitacional entre as duas primeiras esferas é equivalente à:

F = (G.m.m)/d^{2
F = (G.m2)/d2  - (I)}

Após trocar uma das esferas por outra que tenha massa 2.m e distância entres seus centros d/2, temos que:

F₁ = (G.m.2.m)/(d/2)^{2
F₁ = (2.G.m2)/(d2/4)
F₁ = (8.G.m2)/d2  -  (II)}

Isolando G nas equações I e II temos:

G = F.d²/m²  e  G = F₁.d²/8m²

Como a constante gravitacional G é a mesma nas duas equações:

F.d²/m²  =  F₁.d²/8m^{2
F = F₁/8
F₁ = 8.F}

A força de atração gravitacional entre as esferas que possuem massa m e 2.m e distância d/2 entre seus centros é oito vezes maior que a força de atração gravitacional entre as esferas que possuem m e distância d entre seus centros.

Utilizando a Lei da Gravitação Universal temos que F = G.M.m/d²

A força de atração gravitacional entre Terra e super-herói é dada por:

F_th = G.m_t.m_h/d_th²

A força de atração gravitacional entre Lua e super-herói é dada por:

F_lh = G.m_l.m_h/d_lh²

Haverá igualdade entre as forças de atração gravitacional Terra-Herói e Lua-Herói quando: F_th = F_lh

G.m_t.m_h/d_th² = G.m_l.m_h/d_lh²  

Obs.: a massa da Terra é 81 vezes a massa da Lua. Logo, temos que:

G.81.m_l.m_h/d_th² = G.m_l.m_h/d_lh²

81/d_th² = 1/d_lh²

d_th² = 81. d_lh²

 d_th = [81. d_lh]^1/2

d_th = 9.d_lh

Obs.: d_lh = d - d_th

d_th = 9.( d - d_th)

d_th = 9.d - 9.d_th

d_th + 9.d_th = 9.d

10. d_th = 9.d

d_th = 9.d/10