Exercícios sobre esfera
Dada uma esfera que possui raio medindo 3 cm, então o valor do volume dessa esfera é:
A) \(18π\ cm^3\)
B) \(27π\ cm^3\)
C) \(36π\ cm^3\)
D) \(45π\ cm^3\)
E) \(54π\ cm^3\)
Alternativa C.
Calculando o volume da esfera, temos que:
\(V=\frac{4πr^3}3\)
\(V=\frac{4⋅π⋅3^3}3\)
\(V=\frac{4⋅π⋅27}3\)
\(V=4⋅π⋅9\)
\(V=36\ π\ cm^3\)
Uma esfera tem volume de 1046,6 cm³. Se π = 3,14, então o raio dessa esfera mede aproximadamente:
A) 5,4 cm
B) 6,3 cm
C) 7,5 cm
D) 8,1 cm
E) 9,0 cm
Alternativa B.
Se V = 1046,6, então temos que:
\(V=\frac{4πr^3}3\)
\(1046,6=\frac{4πr^3}3\)
\(1046,6=\frac{4⋅3,14⋅r^3}3\)
\(1046,6⋅3=4⋅3,14⋅r^3\)
\(3139,8=12,59r^3\)
\(\frac{3139,8}{12,59}=r^3\)
\(249,4=r^3\)
\(r=\sqrt[3]{249,4}\)
\(r= 6,29 \)
\(r = 6,3\ cm\)
Uma embalagem possui o formato de uma esfera com raio medindo 6 cm de diâmetro. Nessas condições, podemos afirmar que a área é de:
A) 27π
B) 36π
C) 45π
D) 54π
E) 63π
Uma bola de basquete possui volume igual a 7234,56 cm³. Considerando π= 3,14, a medida do diâmetro dessa bola é:
A) 10 cm
B) 12 cm
C) 20 cm
D) 24 cm
E) 34 cm
Alternativa D.
Sabemos que:
\(V=\frac{4}3 πr^3\)
\(7234,56=\frac{4}3⋅3,14r^3\)
\(\frac{7234,56}{3,14}=\frac{4}3 r^3\)
\(2304=\frac{4}3 r^3\)
\(2304⋅\frac{3}4=r^3\)
\(1728=r^3\)
\(r=\sqrt[3]{1728}\)
\(r= 12 \)
Como queremos o diâmetro, sabendo que ele é igual ao dobro do raio, d = \(12 ⋅2 = 24\)
Uma esfera metálica possui a área da sua superfície medindo 400π cm². Então, a medida do raio dessa esfera é igual a:
A) 5 cm
B) 7 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
E) 40 cm
Alternativa C.
Com a fórmula da área, temos que:
\(4πr^2=400π\)
\(r^2=\frac{400π}{4π}\)
\(r^2=100\)
\(r=\sqrt{100}\)
\(r= 10\ cm\)
Sobre a esfera, julgue as afirmativas a seguir:
I. A esfera é um corpo redondo.
II. A esfera que possui raio medindo 3 cm possui raio igual ao comprimento.
III. O diâmetro da esfera é igual ao dobro do seu raio.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa
B) Somente a afirmativa II é falsa
C) Somente a afirmativa III é falsa
D) Todas as afirmativas são verdadeiras
Alternativa D.
I. A esfera é um corpo redondo. (verdadeiro)
Sabemos que a esfera é um corpo redondo por ter superfície arredondada.
II. A esfera que possui raio medindo 3 cm possui raio igual ao comprimento. (verdadeiro)
Calculando o volume da esfera com raio igual a 3 cm e a sua área, temos que:
\(V=\frac{4}3⋅πr^3=4πr^2\)
\(V=4πr^3=3⋅4πr^2\)
\(r^3=\frac{3⋅4πr^2}{4π}\)
\(r^3=3r^2\)
\(\frac{r^3}{r^2} =3\)
\(r= 3 \)
Quando o raio vale 3 unidades, então o volume e a área possuem o mesmo valor.
III. O diâmetro da esfera é igual ao dobro do seu raio. (verdadeiro)
Sabemos, por definição, que a medida do diâmetro é igual ao dobro da medida do raio.
Chamamos de cunha esférica o sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo quando essa rotação é menor que 360°, ou seja, 0 < θ < 360°.
Se o ângulo for de 60° e o raio for igual a 3 cm, então o volume da cunha é de:
A) \( π\ cm^3\)
B) \( 2π\ cm^3\)
C) \( \frac{3}2 π\ cm^3\)
D) \( 3π\ cm^3\)
E) \( \frac{4}3 π\ cm^3\)
Alternativa B.
O volume da cunha é calculado por:
\(V=\frac{πr^3 θ}{270°}\)
\(V=\frac{π⋅3^3⋅60}{270}\)
\(V=\frac{π⋅9⋅60}{270}\)
\(V=\frac{540π}{270}\)
\(V=2π\ cm^3\)
Marque a alternativa que melhor define a esfera:
A) A esfera é o conjunto de pontos que está a uma mesma distância r de um ponto no plano.
B) A esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual a r de um ponto no espaço.
C) A esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que r de um ponto no espaço.
D) A esfera é o sólido geométrico que possui duas bases circulares e uma área lateral retangular.
E) A esfera é o sólido geométrico formado pela rotação de um triângulo em relação à sua altura.
F) A esfera é o sólido geométrico que possui duas bases circulares.
Alternativa C.
Sabemos que a esfera é a coleção de pontos no espaço que está a uma distância menor ou igual ao raio em relação ao seu ponto de origem.
(Enem) Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante processo de derretimento.
Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?
A) 800
B) 1200
C) 2400
D) 4800
E) 6400
Alternativa D.
Calculando o volume do cilindro:
\(V=πr^2⋅h=π4^2⋅50=800\)
Calculando o volume da esfera:
\(V=\frac{4πr^3}3=\frac{4⋅π⋅0,5^3}3=\frac{4⋅π⋅0,125}3=\frac{0,5π}3\)
Dividindo o volume do cilindro pelo volume da esfera:
\(\frac{800π}{\frac{0,5π}{3}}\)
\(800π⋅\frac{3}{0,5π}= 4800\)
(Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
\(V_{esfera}= \frac{4}3 πR^3\ e\ V_{cone}= \frac{1}3 πR^2 h\)
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
A) 1,33
B) 6,00
C) 12,00
D) 56,52
E) 113,04
Alternativa B.
O volume do hemisfério é igual à metade do volume da esfera. Então, temos que:
\(\frac{4}6 πr^3=\frac{1}3 πr^2 h\)
\(\frac{4}6 π3^3=\frac{1}3 π⋅3^2⋅h\)
\(\frac{4}6 π⋅27=\frac{1}3⋅π⋅9⋅h\)
\(18π= 3πh\)
\(\frac{18π}{3π}=h\)
\(h= 6 \)
(Enem) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
A) 4.
B) 8.
C) 16.
D) 24.
E) 32.
Alternativa B.
Primeiro, calcularemos a medida da aresta do cubo:
\(a^3=13824\)
\(a=\sqrt[3]{13824}\)
\(a=24\)
O raio da esfera é de 6 cm, então o diâmetro é de 12 cm.
24 : 12 = 2
Como temos 3 dimensões, temos que 2³ = 8. Logo, caberão 8 esferas.
(Enem) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por \(\frac{4}3 π⋅R^3\).
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base \(\frac{r}3\), cujo volume será dado por \( π⋅(\frac{R}{3})^2⋅h\), sendo h a altura da nova embalagem.
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a
A) 2R
B) 4R
C) 6R
D) 9R
E) 12R
Alternativa E.
Queremos que o volume da esfera seja igual ao volume do cilindro:
\(\frac{4}3 π⋅R^3=π⋅(\frac{R}{3})^2⋅h\)
\(\frac{4}3 π⋅R^3=π⋅\frac{R^2}9⋅h\)
\(9⋅\frac{4}3 π⋅R^3=π⋅R^2⋅h\)
\(12πR^3=π⋅R^2⋅h\)
\(\frac{12πR^3}{πR^2}=h\)
\(12R=h\)
Então, h = 12R.
