Exercícios sobre esfera
Dada uma esfera que possui raio medindo 3 cm, então o valor do volume dessa esfera é:
A) 18π cm3
B) 27π cm3
C) 36π cm3
D) 45π cm3
E) 54π cm3
Alternativa C.
Calculando o volume da esfera, temos que:
V=4πr33
V=4⋅π⋅333
V=4⋅π⋅273
V=4⋅π⋅9
V=36 π cm3
Uma esfera tem volume de 1046,6 cm³. Se π = 3,14, então o raio dessa esfera mede aproximadamente:
A) 5,4 cm
B) 6,3 cm
C) 7,5 cm
D) 8,1 cm
E) 9,0 cm
Alternativa B.
Se V = 1046,6, então temos que:
V=4πr33
1046,6=4πr33
1046,6=4⋅3,14⋅r33
1046,6⋅3=4⋅3,14⋅r3
3139,8=12,59r3
3139,812,59=r3
249,4=r3
r=3√249,4
r=6,29
r=6,3 cm
Uma embalagem possui o formato de uma esfera com raio medindo 6 cm de diâmetro. Nessas condições, podemos afirmar que a área é de:
A) 27π
B) 36π
C) 45π
D) 54π
E) 63π
Uma bola de basquete possui volume igual a 7234,56 cm³. Considerando π= 3,14, a medida do diâmetro dessa bola é:
A) 10 cm
B) 12 cm
C) 20 cm
D) 24 cm
E) 34 cm
Alternativa D.
Sabemos que:
V=43πr3
7234,56=43⋅3,14r3
7234,563,14=43r3
2304=43r3
2304⋅34=r3
1728=r3
r=3√1728
r=12
Como queremos o diâmetro, sabendo que ele é igual ao dobro do raio, d = 12⋅2=24
Uma esfera metálica possui a área da sua superfície medindo 400π cm². Então, a medida do raio dessa esfera é igual a:
A) 5 cm
B) 7 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
E) 40 cm
Alternativa C.
Com a fórmula da área, temos que:
4πr2=400π
r2=400π4π
r2=100
r=√100
r=10 cm
Sobre a esfera, julgue as afirmativas a seguir:
I. A esfera é um corpo redondo.
II. A esfera que possui raio medindo 3 cm possui raio igual ao comprimento.
III. O diâmetro da esfera é igual ao dobro do seu raio.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa
B) Somente a afirmativa II é falsa
C) Somente a afirmativa III é falsa
D) Todas as afirmativas são verdadeiras
Alternativa D.
I. A esfera é um corpo redondo. (verdadeiro)
Sabemos que a esfera é um corpo redondo por ter superfície arredondada.
II. A esfera que possui raio medindo 3 cm possui raio igual ao comprimento. (verdadeiro)
Calculando o volume da esfera com raio igual a 3 cm e a sua área, temos que:
V=43⋅πr3=4πr2
V=4πr3=3⋅4πr2
r3=3⋅4πr24π
r3=3r2
r3r2=3
r=3
Quando o raio vale 3 unidades, então o volume e a área possuem o mesmo valor.
III. O diâmetro da esfera é igual ao dobro do seu raio. (verdadeiro)
Sabemos, por definição, que a medida do diâmetro é igual ao dobro da medida do raio.
Chamamos de cunha esférica o sólido geométrico formado pela rotação de um semicírculo quando essa rotação é menor que 360°, ou seja, 0 < θ < 360°.
Se o ângulo for de 60° e o raio for igual a 3 cm, então o volume da cunha é de:
A) π cm3
B) 6π cm3
C) 32π cm3
D) 3π cm3
E) 43π cm3
Alternativa B.
O volume da cunha é calculado por:
V=πr3θ270
V=π⋅33⋅60270
V=π⋅27⋅60270
V=6πcm3
Marque a alternativa que melhor define a esfera:
A) A esfera é o conjunto de pontos que está a uma mesma distância r de um ponto no plano.
B) A esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual a r de um ponto no espaço.
C) A esfera é o conjunto de pontos que estão a uma distância igual ou menor que r de um ponto no espaço.
D) A esfera é o sólido geométrico que possui duas bases circulares e uma área lateral retangular.
E) A esfera é o sólido geométrico formado pela rotação de um triângulo em relação à sua altura.
F) A esfera é o sólido geométrico que possui duas bases circulares.
Alternativa C.
Sabemos que a esfera é a coleção de pontos no espaço que está a uma distância menor ou igual ao raio em relação ao seu ponto de origem.
(Enem) Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante processo de derretimento.
Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?
A) 800
B) 1200
C) 2400
D) 4800
E) 6400
Alternativa D.
Calculando o volume do cilindro:
V=πr2⋅h=π42⋅50=800
Calculando o volume da esfera:
V=4πr33=4⋅π⋅0,533=4⋅π⋅0,1253=0,5π3
Dividindo o volume do cilindro pelo volume da esfera:
800π0,5π3
800π⋅30,5π=4800
(Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
Vesfera=43πR3 e Vcone=13πR2h
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
A) 1,33
B) 6,00
C) 12,00
D) 56,52
E) 113,04
Alternativa B.
O volume do hemisfério é igual à metade do volume da esfera. Então, temos que:
46πr3=13πr2h
46π33=13π⋅32⋅h
46π⋅27=13⋅π⋅9⋅h
18π=3πh
18π3π=h
h=6
(Enem) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
A) 4.
B) 8.
C) 16.
D) 24.
E) 32.
Alternativa B.
Primeiro, calcularemos a medida da aresta do cubo:
a3=13824
a=3√13824
a=24
O raio da esfera é de 6 cm, então o diâmetro é de 12 cm.
24 : 12 = 2
Como temos 3 dimensões, temos que 2³ = 8. Logo, caberão 8 esferas.
(Enem) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por 43π⋅R3.
Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base r3, cujo volume será dado por π⋅(R3)2⋅h, sendo h a altura da nova embalagem.
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a
A) 2R
B) 4R
C) 6R
D) 9R
E) 12R
Alternativa E.
Queremos que o volume da esfera seja igual ao volume do cilindro:
43π⋅R3=π⋅(R3)2⋅h
43π⋅R3=π⋅R29⋅h
9⋅43π⋅R3=π⋅R2⋅h
12πR3=π⋅R2⋅h
12πR3πR2=h
12R=h
Então, h = 12R.
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