Exercícios sobre Fórmulas de Adição de Arcos
Determine o valor de A = sen 105° + cos 105°.
Para resolver essa expressão, precisamos identificar os valores de sen 105° e de cos 105°. Para tanto, podemos considerar que 105° = 45° + 60°. Através do cosseno da soma de dois arcos, temos:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (45° + 60°) = cos 45° . cos 60° – sen 45° . sen 60°
cos (105°) = √2 . 1 – √2 . √3
2 2 2 2
cos (105°) = √2 – √6
4 4
A partir do seno da soma de dois arcos, temos:
sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x
sen (45° + 60°) = sen 45° . cos 60° + sen 60° . cos 45°
sen (105°) = √2 . 1 + √3 . √2
2 2 2 2
sen (105°) = √2 + √6
4 4
Vamos agora encontrar o valor de A:
A = sen 105° + cos 105°
A = √2 – √6 + √2 + √6
4 4 4 4
A = 2√2
4
A = √2
2
Quanto vale (tg 15°). (sen 15°)?
Para encontrar o valor dessa expressão, precisamos primeiro determinar o valor de tg 15° e de sen 15°. Uma das alternativas para encontrar esses valores é utilizar a diferença entre os ângulos de 60° e 45°. Temos, então:
tg (x – y) = tg x – tg y
1 + tg x . tg y
tg (60° – 45°) = tg 60° – tg 45°
1 + tg 60° . tg 45°
tg (15°) = √3 – 1
1 + √3.1
tg (15°) = √3 – 1
1 + √3
Vamos agora determinar o valor de sen (15)°:
sen (x – y) = sen x . cos y – sen y . cos x
sen (60° – 45°) = sen 60° . cos 45° – sen 45° . cos 60°
sen (15°) = √3 . √2 – √2 . 1
2 2 2 2
sen (15°) = √6 – √2
4 4
sen (15°) = √6 – √2
4
Resolvendo a expressão, temos:
(tg 15°). (sen 15°) = (√3 – 1 ) . (√6 – √2)
(1 + √3) 4
(tg 15°). (sen 15°) = √18 – √6 – √6 + √2
4 + 4√3
Fatorando √18, encontramos que √18 = 3√2. Assim:
(tg 15°). (sen 15°) = 3√2 – 2√6 + √2
4 + 4√3
(tg 15°). (sen 15°) = 4√2 – 2√6
4 + 4√3
(tg 15°). (sen 15°) = 2√2 – √6
2 + 2√3
(PUC – SP) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
O cálculo da adição de arcos da tangente é dado por:
tg (x + y) = tg x + tg y
1 – tg x . tg y
Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, temos:
33 = 3 + tg y
1 – 3.tg y
33 – 99.tg y = 3 + tg y
100.tg y = 30
tg y = 30
100
tg y = 0,3
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
(UFAM) O cosseno do arco de medida 255° é igual a:
a) √6 – √3
4
b) √6 – √2
4
c) –√2 – √6
4
d) √2 + √6
4
e) √2 – √6
4
O valor do cosseno de 255º é desconhecido por nós, mas pode ser obtido a partir da soma de arcos. Uma das possibilidades é desmembrar o ângulo de 255° na soma 180° + 75°. Os valores de seno e cosseno de 180° são conhecidos, entretanto, precisamos encontrá-los para o ângulo de 75°, o que pode ser feito a partir da soma dos arcos de 30° e 45°:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (30° + 45°) = cos 30° . cos 45° – sen 30° . sen 45°
cos (75°) = √3 . √2 – 1 . √2
2 2 2 2
cos (75°) = √6 – √2
4 4
cos (75°) = √6 – √2
4
Vamos agora encontrar o valor do cosseno de 255°:
cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y
cos (180° + 75°) = cos 180° . cos 75° – sen 180° . sen 75°
cos (255°) = (– 1) . √6 – √2 – 0 . sen 75°
4
cos (255°) = √2 – √6
4
Concluímos então que a alternativa correta é a letra e.
