Exercícios sobre geometria espacial

A geometria espacial estuda o comportamento dos entes geométricos no espaço. Nessa área de estudo, conhecemos os sólidos geométricos e as suas características. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
Questão 1

Das formas geométricas a seguir, marque a alternativa que possui somente sólidos geométricos:

A) cilindro, círculo, cone

B) esfera, quadrado, triângulo

C) pirâmide, cone, prisma

D) circunferência, prisma, pirâmide

E) pirâmide, trapézio, esfera

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Alternativa C

Analisando as alternativas, a única composta exclusivamente por nomes de sólidos geométricos é a C, que traz a pirâmide, o cone e o prisma.

Questão 2

A geometria espacial estuda os sólidos geométricos, divididos em dois grandes grupos. Nesses grupos, temos os corpos redondos e os poliedros. Sobre os sólidos geométricos, podemos afirmar que:

I. O cone é um caso particular de pirâmide, pois ele é também um poliedro.

II. A esfera não é um poliedro, pois ela não possui faces, logo, ela é um corpo redondo.

III. Os poliedros são sólidos geométricos cuja face é uma figura plana qualquer.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

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Alternativa B

I. O cone é um caso particular de pirâmide, pois ele é também um poliedro. (Falso)

O cone não é um poliedro, pois ele possui face circular, portanto, é um corpo redondo.

II. A esfera não é um poliedro, pois ela não possui faces, logo, ela é um corpo redondo. (Verdadeiro)

III. Os poliedros são sólidos geométricos cuja face é uma figura plana qualquer. (Falso)

Para que o sólido seja um poliedro, a sua face tem que ser um polígono. Vale lembrar que a circunferência, por exemplo, é uma figura plana, mas não é um poliedro, e, por isso, sólidos que possuem faces circulares não são poliedros.

Questão 3

Durante a aula de Matemática, o professor desafiou os seus estudantes a encontrarem objetos do cotidiano que possuam formato de um corpo redondo. Foi então que os alunos fizeram as listas a seguir:

⇒ Diana: frutas como maçã, limão e laranja; garrafa de refrigerante; e a lixeira cilíndrica da escola.

⇒ Renata: pneu dos carros; casquinha de sorvete; e chapéu de aniversário infantil.

⇒ Rogério: copo; garrafa de refrigerante; caixa de sapato.

⇒ Matheus: bola de futebol; globo ocular; cenoura; barril.

Ao analisar a lista dos estudantes, o professor percebeu que um dos alunos colocou um objeto que não é corpo redondo em sua lista. O aluno que fez isso foi:

A) Diana

B) Renata

C) Rogério

D) Matheus

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Alternativa C

Podemos perceber que na lista do Rogério tem uma caixa de sapato. A caixa de sapato possui formato de um prisma, o prisma não é um corpo redondo, pois as suas faces são todas polígonos, logo, é um poliedro.

Questão 4

Durante o planejamento da construção de um posto de combustível, o engenheiro responsável estava pesquisando sobre o tamanho do reservatório de combustível a ser construído. O reservatório de um posto é sempre subterrâneo, e, nesse caso, ele deveria ter capacidade para 24 m³, comportando, portanto, 24 mil litros de combustível. Sabendo que esse reservatório possui formato de um paralelepípedo retângulo, o engenheiro o construiu com 3 metros de largura e 4 metros de comprimento para que ele tenha os 24 m³ desejados. A profundidade desse reservatório deve ser de:

A) 2 metros

B) 3 metros

C) 4 metros

D) 5 metros

E) 6 metros

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Alternativa A

Se o reservatório possui formato de um paralelepípedo retângulo, a sua base é um retângulo, com 3 metros de largura e 4 metros de comprimento no caso. Para calcular o volume desse sólido, multiplicamos a área da base pela altura, e a área da base do retângulo é o produto das suas dimensões, logo, temos que:

\(V=A_b\cdot h\)

\(24\ =\ 3\ \cdot4\ \cdot h\)

\(24\ =\ 12h\)

\(h=\frac{24}{12}\)

\(h\ =\ 2\ metros\ \)

Então a profundidade do reservatório deve ser de 2 metros.

Questão 5

Nome da bola da Copa é escolhido pela primeira vez por torcedores: Brazuca

Brazuca supera Bossa Nova e Carnavalesca e ganha eleição com 77,8%. Pela primeira vez na história, o nome da bola da Copa do Mundo da Fifa foi escolhido pelos torcedores: Brazuca, que recebeu 77,8% de 1.119.539 votos e superou Bossa Nova (14,6%) e Carnavalesca (7,6%) como substituta da Jabulani em 2014, no Brasil.

Fonte: http://ge.globo.com/nome-da-bola-2014/noticia/2012/09/nome-da-bola-da-copa-e-escolhido-pela-primeira-vez-pela-torcida-brazuca.html

Ao analisar as medidas da bola Brazuca, foi constado que ela possui em média 437 gramas, circunferência máxima em média de 69 cm e raio médio de 10,98 cm. Considerando esse raio como 11 cm, nessas condições, podemos afirmar que o volume dessa bola é em média:

(use π=3)

A) 589 cm³

B) 1766 cm³

C) 2662 cm³

D) 4807 cm³

E) 5324 cm³   
 

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Alternativa E

Calculando o volume, temos que:

\(V=\frac{4\pi r^3}{3}\)

\(V=\frac{4\cdot3\cdot{11}^3}{3}\)

\(V=\frac{4\cdot3\cdot1331}{3}\)

\(V=4\cdot1331\)

\(V=5324\ cm^3\)

Questão 6

Um recipiente possui formato de um prisma com as dimensões a seguir:

Ilustração de um prisma, com a indicação da medida de seu comprimento, de sua largura e de sua altura.

Sabendo que 2/3 do volume desse recipiente estão ocupados, então o volume não ocupado é igual a:

A) 200 cm³

B) 300 cm³

C) 500 cm³

D) 600 cm³

E) 900 cm

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Alternativa B

Primeiro calcularemos o volume do prisma:

\(V=12\cdot5\cdot15\ \)

\(V=60\cdot15\ \)

\(V=900\ cm^3\)

Como 2/3 estão ocupados, então 1/3 não está, logo, dividindo 900 por 3, encontraremos o volume não ocupado desse sólido:

\(900 : 3 = 300 cm³\)

Questão 7

Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com 25 cm de largura, 42 cm de altura e 36 cm de altura. A área total dessa caixa mede:

A) 3462 cm²

B) 6924 cm²

C) 8000 cm²

D) 9150 cm²

E) 10.369 cm²

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Alternativa B

Calculando a área total, temos que:

\(A_T=2(ab+ac+bc)\)

\(A_T=2\cdot\left(25\cdot42+25\cdot36+36\cdot42\right)\)

\(A_T=2\cdot\left(1050+900+1512\right)\)

\(A_T=2\cdot3462\)

\(A_T=6924\ cm^2\)

Questão 8

O recipiente a seguir é uma forma geométrica:

Ilustração de um tronco de pirâmide.

Analisando essa forma geométrica, um aluno fez três afirmativas:

I. Essa forma geométrica é um prisma de base quadrada.

II. Essa forma geométrica é um poliedro.

III. Essa forma geométrica não é um sólido geométrico.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Todas as afirmativas são falsas.

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Alternativa B

I. Essa forma geométrica é um prisma de base quadrada. (Falso)

O prisma tem que ter duas bases congruentes, nesse caso, esse sólido é um tronco de pirâmide e não um prisma.

II. Essa forma geométrica é um poliedro. (Verdadeiro)

Como esse sólido geométrico é fechado por faces com formato de polígonos, então ele, de fato, é um poliedro.

III. Essa forma geométrica não é um sólido geométrico. (Falso)

Note que se trata de uma figura espacial fechada por polígonos, logo, de um sólido geométrico.

Questão 9

Um reservatório de gás oxigênio foi construído no formato de um cilindro com 1,5 metros de altura e 60 centímetros de diâmetro. Nessas condições, podemos afirmar que o volume desse reservatório em metros cúbicos é de aproximadamente:

(use π=3,1)

A) 0,40

B) 0,42

C) 0,44

D) 0,46

E) 0,48

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Alternativa B

O volume do cilindro é calculado por:

\(V=\pi r^2h\)

Sabemos que 60 centímetros de diâmetro correspondem a um raio de 30 centímetros, além disso, 30 centímetros equivalem a 0,3 metro. Então temos que:

\(V=3,1\cdot{0,3}^2\cdot1,5\)

\(V=3,1\ \cdot0,09\ \cdot1,5\ \)

\(V=0,4185\ m^3\)

Então o volume desse cilindro é de aproximadamente 0,42 m³.

Questão 10

(Enem) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio, e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Ilustração de três silos.

Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é:

A) 6

B) 16

C) 17

D) 18

E) 21

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Alternativa D

Para calcular o volume do silo, vamos dividi-lo em um cone e um cilindro.

Calculando o volume do cone, temos que:

h = 3 metros

r = 3 metros

π = 3

\(V_{cone}=\frac{\pi r^2h}{3}\)

\(V_{cone}=\frac{3\cdot3^2\cdot3}{3}\)

\(V_{cone}=3^2\cdot3\)

\(V_{cone}=27\)

Agora calcularemos o volume do cilindro:

h = 12 metros

r = 3 metros

π = 3

\(V_{cilindro}=\pi r^2h\)

\(V_{cilindro}=3\cdot3^2\cdot12\)

\(V_{cilindro}=3\cdot9\cdot12\)

\(V_{cilindro}=27\cdot12\)

\(V_{cilindro}=324\)

Somando os dois volumes, temos que:

\(V=324+27=351\ m³\)

Sabemos que o caminhão leva 20 m³ por viagem, logo, temos que 351 : 20 = 17,5. Assim, serão necessárias 18 viagens.

Questão 11

(Enem) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Ilustração de um cubo sobre um cubo maior e levemente preenchido.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

A) 8

B) 10

C) 16

D) 18

E) 24

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Alternativa B

Clamaremos de a a medida da aresta do cubo menor. Então temos que:

  • aresta do cubo menor = a
  • aresta do cubo maior = 2a

Calculando o volume do cubo, temos que:

  • volume do cubo menor = a³
  • volume do cubo maior (2a)³ = 8a³

Sabemos que o volume do cubo maior é igual a 8 vezes o volume do cubo menor. Se metade do cubo maior foi preenchida em 8 minutos, então, para preencher o cubo menor todo, serão necessários 16 minutos. Dividindo esse tempo por 8, encontramos o tempo necessário para encher o cubo menor, que é:

16 : 8 = 2 minutos

Então o tempo total necessário para preencher ambos os cubos é de

16 + 2 = 18 minutos

Como já se passaram 8 minutos, o tempo restante necessário será de 10 minutos.

Questão 12

(IFG) Considere um aquário em forma de paralelepípedo reto de base retangular, contendo água até certo nível e com dimensões da base, medindo 6 metros e 5 metros. Após a imersão de certo objeto sólido nesse aquário, o nível da água subiu 20 cm sem que água transbordasse. Nessas condições, é correto afirmar que o volume desse objeto sólido em metros cúbicos é de

Ilustração de um aquário com formato de paralelepípedo, com água até certo nível e com um objeto imerso.

A) 0,6 m³.

B) 6 m³.

C) 60 m³.

D) 600 m³.

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Alternativa B

Para calcular a área do objeto inserido no aquário, calcularemos a área da base vezes a altura a que o nível da água subiu. Note que a medida da base está em metros, mas que a altura do nível da água está em cm. Sabemos que 20 cm são 0,2 metro, então temos que:

\(V=6\cdot5\cdot0,2\ \)

\(V=30\cdot0,2\ \)

\(V=6{\ m}^3\)

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