Exercícios sobre geometria espacial
A geometria espacial estuda o comportamento dos entes geométricos no espaço. Nessa área de estudo, conhecemos os sólidos geométricos e as suas características.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
Das formas geométricas a seguir, marque a alternativa que possui somente sólidos geométricos:
Alternativa C
Analisando as alternativas, a única composta exclusivamente por nomes de sólidos geométricos é a C, que traz a pirâmide, o cone e o prisma.
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Questão 2
A geometria espacial estuda os sólidos geométricos, divididos em dois grandes grupos. Nesses grupos, temos os corpos redondos e os poliedros. Sobre os sólidos geométricos, podemos afirmar que:
I. O cone é um caso particular de pirâmide, pois ele é também um poliedro.
II. A esfera não é um poliedro, pois ela não possui faces, logo, ela é um corpo redondo.
III. Os poliedros são sólidos geométricos cuja face é uma figura plana qualquer.
Marque a alternativa correta:
Alternativa B
I. O cone é um caso particular de pirâmide, pois ele é também um poliedro. (Falso)
O cone não é um poliedro, pois ele possui face circular, portanto, é um corpo redondo.
II. A esfera não é um poliedro, pois ela não possui faces, logo, ela é um corpo redondo. (Verdadeiro)
III. Os poliedros são sólidos geométricos cuja face é uma figura plana qualquer. (Falso)
Para que o sólido seja um poliedro, a sua face tem que ser um polígono. Vale lembrar que a circunferência, por exemplo, é uma figura plana, mas não é um poliedro, e, por isso, sólidos que possuem faces circulares não são poliedros.
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Questão 3
Durante a aula de Matemática, o professor desafiou os seus estudantes a encontrarem objetos do cotidiano que possuam formato de um corpo redondo. Foi então que os alunos fizeram as listas a seguir:
⇒ Diana: frutas como maçã, limão e laranja; garrafa de refrigerante; e a lixeira cilíndrica da escola.
⇒ Renata: pneu dos carros; casquinha de sorvete; e chapéu de aniversário infantil.
⇒ Rogério: copo; garrafa de refrigerante; caixa de sapato.
⇒ Matheus: bola de futebol; globo ocular; cenoura; barril.
Ao analisar a lista dos estudantes, o professor percebeu que um dos alunos colocou um objeto que não é corpo redondo em sua lista. O aluno que fez isso foi:
Alternativa C
Podemos perceber que na lista do Rogério tem uma caixa de sapato. A caixa de sapato possui formato de um prisma, o prisma não é um corpo redondo, pois as suas faces são todas polígonos, logo, é um poliedro.
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Questão 4
Durante o planejamento da construção de um posto de combustível, o engenheiro responsável estava pesquisando sobre o tamanho do reservatório de combustível a ser construído. O reservatório de um posto é sempre subterrâneo, e, nesse caso, ele deveria ter capacidade para 24 m³, comportando, portanto, 24 mil litros de combustível. Sabendo que esse reservatório possui formato de um paralelepípedo retângulo, o engenheiro o construiu com 3 metros de largura e 4 metros de comprimento para que ele tenha os 24 m³ desejados. A profundidade desse reservatório deve ser de:
Alternativa A
Se o reservatório possui formato de um paralelepípedo retângulo, a sua base é um retângulo, com 3 metros de largura e 4 metros de comprimento no caso. Para calcular o volume desse sólido, multiplicamos a área da base pela altura, e a área da base do retângulo é o produto das suas dimensões, logo, temos que:
\(V=A_b\cdot h\)
\(24\ =\ 3\ \cdot4\ \cdot h\)
\(24\ =\ 12h\)
\(h=\frac{24}{12}\)
\(h\ =\ 2\ metros\ \)
Então a profundidade do reservatório deve ser de 2 metros.
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Questão 5
Nome da bola da Copa é escolhido pela primeira vez por torcedores: Brazuca
Brazuca supera Bossa Nova e Carnavalesca e ganha eleição com 77,8%. Pela primeira vez na história, o nome da bola da Copa do Mundo da Fifa foi escolhido pelos torcedores: Brazuca, que recebeu 77,8% de 1.119.539 votos e superou Bossa Nova (14,6%) e Carnavalesca (7,6%) como substituta da Jabulani em 2014, no Brasil.
Fonte: http://ge.globo.com/nome-da-bola-2014/noticia/2012/09/nome-da-bola-da-copa-e-escolhido-pela-primeira-vez-pela-torcida-brazuca.html
Ao analisar as medidas da bola Brazuca, foi constado que ela possui em média 437 gramas, circunferência máxima em média de 69 cm e raio médio de 10,98 cm. Considerando esse raio como 11 cm, nessas condições, podemos afirmar que o volume dessa bola é em média:
(use π=3)
Alternativa E
Calculando o volume, temos que:
\(V=\frac{4\pi r^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot{11}^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot1331}{3}\)
\(V=4\cdot1331\)
\(V=5324\ cm^3\)
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Questão 6
Um recipiente possui formato de um prisma com as dimensões a seguir:
Sabendo que 2/3 do volume desse recipiente estão ocupados, então o volume não ocupado é igual a:
Alternativa B
Primeiro calcularemos o volume do prisma:
\(V=12\cdot5\cdot15\ \)
\(V=60\cdot15\ \)
\(V=900\ cm^3\)
Como 2/3 estão ocupados, então 1/3 não está, logo, dividindo 900 por 3, encontraremos o volume não ocupado desse sólido:
\(900 : 3 = 300 cm³\)
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Questão 7
Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com 25 cm de largura, 42 cm de altura e 36 cm de altura. A área total dessa caixa mede:
Alternativa B
Calculando a área total, temos que:
\(A_T=2(ab+ac+bc)\)
\(A_T=2\cdot\left(25\cdot42+25\cdot36+36\cdot42\right)\)
\(A_T=2\cdot\left(1050+900+1512\right)\)
\(A_T=2\cdot3462\)
\(A_T=6924\ cm^2\)
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Questão 8
O recipiente a seguir é uma forma geométrica:
Analisando essa forma geométrica, um aluno fez três afirmativas:
I. Essa forma geométrica é um prisma de base quadrada.
II. Essa forma geométrica é um poliedro.
III. Essa forma geométrica não é um sólido geométrico.
Marque a alternativa correta:
Alternativa B
I. Essa forma geométrica é um prisma de base quadrada. (Falso)
O prisma tem que ter duas bases congruentes, nesse caso, esse sólido é um tronco de pirâmide e não um prisma.
II. Essa forma geométrica é um poliedro. (Verdadeiro)
Como esse sólido geométrico é fechado por faces com formato de polígonos, então ele, de fato, é um poliedro.
III. Essa forma geométrica não é um sólido geométrico. (Falso)
Note que se trata de uma figura espacial fechada por polígonos, logo, de um sólido geométrico.
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Questão 9
Um reservatório de gás oxigênio foi construído no formato de um cilindro com 1,5 metros de altura e 60 centímetros de diâmetro. Nessas condições, podemos afirmar que o volume desse reservatório em metros cúbicos é de aproximadamente:
(use π=3,1)
Alternativa B
O volume do cilindro é calculado por:
\(V=\pi r^2h\)
Sabemos que 60 centímetros de diâmetro correspondem a um raio de 30 centímetros, além disso, 30 centímetros equivalem a 0,3 metro. Então temos que:
\(V=3,1\cdot{0,3}^2\cdot1,5\)
\(V=3,1\ \cdot0,09\ \cdot1,5\ \)
\(V=0,4185\ m^3\)
Então o volume desse cilindro é de aproximadamente 0,42 m³.
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Questão 10
(Enem) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio, e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é:
Alternativa D
Para calcular o volume do silo, vamos dividi-lo em um cone e um cilindro.
Calculando o volume do cone, temos que:
h = 3 metros
r = 3 metros
π = 3
\(V_{cone}=\frac{\pi r^2h}{3}\)
\(V_{cone}=\frac{3\cdot3^2\cdot3}{3}\)
\(V_{cone}=3^2\cdot3\)
\(V_{cone}=27\)
Agora calcularemos o volume do cilindro:
h = 12 metros
r = 3 metros
π = 3
\(V_{cilindro}=\pi r^2h\)
\(V_{cilindro}=3\cdot3^2\cdot12\)
\(V_{cilindro}=3\cdot9\cdot12\)
\(V_{cilindro}=27\cdot12\)
\(V_{cilindro}=324\)
Somando os dois volumes, temos que:
\(V=324+27=351\ m³\)
Sabemos que o caminhão leva 20 m³ por viagem, logo, temos que 351 : 20 = 17,5. Assim, serão necessárias 18 viagens.
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Questão 11
(Enem) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?
Alternativa B
Clamaremos de a a medida da aresta do cubo menor. Então temos que:
- aresta do cubo menor = a
- aresta do cubo maior = 2a
Calculando o volume do cubo, temos que:
- volume do cubo menor = a³
- volume do cubo maior (2a)³ = 8a³
Sabemos que o volume do cubo maior é igual a 8 vezes o volume do cubo menor. Se metade do cubo maior foi preenchida em 8 minutos, então, para preencher o cubo menor todo, serão necessários 16 minutos. Dividindo esse tempo por 8, encontramos o tempo necessário para encher o cubo menor, que é:
16 : 8 = 2 minutos
Então o tempo total necessário para preencher ambos os cubos é de
16 + 2 = 18 minutos
Como já se passaram 8 minutos, o tempo restante necessário será de 10 minutos.
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Questão 12
(IFG) Considere um aquário em forma de paralelepípedo reto de base retangular, contendo água até certo nível e com dimensões da base, medindo 6 metros e 5 metros. Após a imersão de certo objeto sólido nesse aquário, o nível da água subiu 20 cm sem que água transbordasse. Nessas condições, é correto afirmar que o volume desse objeto sólido em metros cúbicos é de
Alternativa B
Para calcular a área do objeto inserido no aquário, calcularemos a área da base vezes a altura a que o nível da água subiu. Note que a medida da base está em metros, mas que a altura do nível da água está em cm. Sabemos que 20 cm são 0,2 metro, então temos que:
\(V=6\cdot5\cdot0,2\ \)
\(V=30\cdot0,2\ \)
\(V=6{\ m}^3\)