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Exercícios sobre o gráfico da função do segundo grau

Exercícios de Matemática

Estes exercícios sobre o gráfico da função do segundo grau podem avaliar seus conhecimentos em relação a esse tema com questões no nível de vestibulares e Enem. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

O gráfico a seguir pertence a uma função f(x) do segundo grau, com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. A respeito dessas funções, assinale a alternativa correta:

a) Toda função do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0.

b) O coeficiente “a” dessa função é positivo.

c) O valor do coeficiente “c”, nessa função, é igual a 9.

d) Não é possível determinar as raízes dessa função unicamente a partir de seu gráfico. Para isso, a lei de formação sempre será necessária.

e) f(2) = 0 e f(-2) = 0

questão 2

A função f(x) = 2x2 + 4x – 6 está definida nos números reais. A respeito do gráfico dessa função, assinale a alternativa que for correta:

a) O vértice dessa função possui as coordenadas (1, – 8).

b) Uma das raízes dessa função possui as coordenadas (1, 0).

c) A concavidade dessa função está voltada para baixo. Isso acontece porque o valor do coeficiente a é negativo.

d) O coeficiente “c” dessa função é exatamente – 8, pois c é referente ao ponto mais baixo de uma função com concavidade voltada para cima.

e) O coeficiente “c” dessa função é exatamente 8, pois c é referente ao ponto mais alto de uma função com concavidade voltada para baixo.

questão 3

A função f(x) = x2 + 6x – 36, definida nos números reais, possui ponto de mínimo de coordenadas:

a) (3, 45)

b) (3, – 45)

c) (– 3, 45)

d) (0,0)

e) (– 3, – 45)

questão 4

Quais os pontos de encontro do gráfico da função f(x) = x2 + 6x + 8, definida nos números reais, com o eixo x do plano cartesiano?

a) (2, 0) e (4, 0)

b) (– 2, 0) e (4, 0)

c) (2, 0) e (– 4, 0)

d) (– 2, 0) e (– 4, 0)

e) (0, – 2) e (0, – 4)

respostas
Questão 1

a) Incorreta!
A forma apresentada na alternativa é referente às equações do segundo grau. Para haver função, são necessárias duas variáveis. Nesse caso, existe apenas a incógnita x.

b) Incorreta!
O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica a concavidade da parábola. Nesse caso, a concavidade está voltada para baixo e isso acontece sempre que a < 0. Se a > 0, então a concavidade é voltada para cima.

c) Correta!
O coeficiente “c” sempre determina o ponto de encontro da função com o eixo x do plano cartesiano.

d) Incorreta!
As raízes de uma função são os pontos de encontro entre o gráfico dessa função e o eixo x. nesse caso, são números próximos de 2 e – 2.

e) Incorreta!
Na função, f(2) = 0 indicaria que o ponto (2, 0) pertence à função, o que não é verdade. O mesmo vale para a função avaliada em f(– 2)

Gabarito: Alternativa C.

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Questão 2

a) Incorreta!
Para determinar o vértice de uma função, sem conhecer seu gráfico, existem algumas técnicas. A mais conhecida delas é o uso das fórmulas:

xv = – b
       2a
e
yv =
       4a

Calculando xv, teremos:

xv = – b
       2a

xv = – 4
       2·2

xv = – 4
         4

xv = – 1

Como a coordenada x dada pela alternativa é 1, então não é necessário procurar yv. A alternativa está errada.

b) Correta!
As coordenadas dadas são x = 1 e y = 0. Fazendo x = 1 na função, teremos:

f(x) = 2x2 + 4x – 6

y = 2·12 + 4·1 – 6

y = 2 + 4 – 6

y = 6 – 6

y = 0

Logo, verifica-se que, se x = 1, y = 0.

c) Incorreta!
O coeficiente a, quando positivo, indica que a concavidade da parábola está voltada para cima.

d) Incorreta!
O coeficiente c indica o ponto de encontro de uma parábola com o eixo y. No geral, ele não indica o ponto mais alto ou mais baixo de uma função. A indicação desse ponto é feita pelo vértice.

e) Incorreta!
O coeficiente c indica o ponto de encontro de uma parábola com o eixo y. No geral, ele não indica o ponto mais alto ou mais baixo de uma função. A indicação desse ponto é feita pelo vértice.

Gabarito: Alternativa B.

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Questão 3

Sempre que uma função possui concavidade voltada para cima, ela possui ponto de mínimo localizado no vértice. Sendo assim, basta calcular as coordenadas do vértice para determinar o ponto de mínimo de uma função do segundo grau (que possui concavidade voltada para cima).

Para tanto, podemos usar as seguintes fórmulas para encontrar x do vértice e y do vértice:

 xv = – b
       2a

xv = – 6
       2·1

xv = – 6 
         2

xv = – 3

yv = – ∆
        4a

yv = (62 4·1·[36])
            4·1

yv = – (36 – 4·[–36])
         4

yv = – (36 + 144)
        4

yv = – (180)
        4

yv = – 45

As coordenadas do ponto de mínimo são: (– 3, – 45)

Gabarito: Alternativa E.

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Questão 4

Os pontos de encontro do gráfico de uma função com o eixo x do plano cartesiano são as raízes de uma função. Para calculá-las, podemos usar a fórmula de Bháskara ou qualquer outra técnica conhecida. Para esse exercício, usaremos a técnica de completar quadrados usando produtos notáveis. Lembrando que as raízes de uma função são encontradas fazendo f(x) = 0.

f(x) = x2 + 6x + 8

0 = x2 + 6x + 8

x2 + 6x + 8 = 0

x2 + 6x + 8 + 9 = 9

x2 + 6x + 9 = 9 – 8

(x + 3)2 = 1

√[(x + 3)2] = √1

x + 3 = ± 1

x = ± 1 – 3

 

x’ = 1 – 3 = – 2

x’’ = – 1 – 3 = – 4

Os pontos de encontro da função com o eixo x são: (– 2, 0) e (– 4, 0).

Gabarito: Alternativa D.

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