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Exercícios sobre matriz triangular

Exercícios de Matemática

Esta lista possui exercícios sobre matriz triangular, que é um caso especial de matriz. Existem dois tipos de matriz triangular: a triangular superior e a triangular inferior. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
questão 1

Analise a matriz M a seguir:

Podemos afirmar que a matriz M é:

A) uma matriz identidade.

B) uma matriz triangular superior.

C) uma matriz triangular inferior.

D) uma matriz transposta.

E) uma matriz inversível.

questão 2

O determinante da matriz a seguir é igual a:

A) 0.

B) 6.

C) 9.

D) 25.

E) 30.

questão 3

Uma matriz M3x3 é construída pelos elementos mij tal que:

Ao construir a matriz M, podemos afirmar que:

A) M é uma matriz triangular inferior.

B) M é uma matriz triangular superior.

C) M é uma matriz identidade.

D) M é uma matriz quadrada não triangular.

E) M é uma matriz nula.

questão 4

Dadas as matrizes A e B, para qual valor de x o produto A · B é igual a uma matriz triangular?

A) – 7/5.

B) – ¾.

C) + 4/3.

D) – 5/7.

E) – 1.

questão 5

Julgue as afirmativas a seguir sobre matriz triangular.

I. Toda matriz triangular é uma matriz quadrada.

II. O determinante da matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.

III. A soma de uma matriz triangular superior e uma matriz triangular inferior é também uma matriz triangular.

Marque a alternativa correta.

A) Apenas I e II são falsas.

B) Apenas II e III são falsas.

C) Apenas a III é falsa.

D) Apenas a II é falsa.

E) Todas são verdadeiras.

questão 6

A soma da matriz M com a matriz N é uma matriz triangular inferior; sendo assim, o valor da expressão numérica a – b + c é igual a:

A) – 5,5.

B) – 3,5.

C) 1.

D) 3,0.

E) 5.

questão 7

Seja B uma matriz de ordem 2 e triangular superior, então a matriz transposta de B:

A) é uma matriz triangular superior.

B) é uma matriz triangular inferior.

C) não é uma matriz triangular.

D) é uma matriz identidade.

questão 8

 Analise as matrizes A, B e C.

As matrizes A, B e C são casos especiais de matrizes, sendo conhecidas, respectivamente, como:

A) matriz linha, matriz nula e matriz identidade.

B) matriz linha, matriz identidade e matriz triangular.

C) matriz coluna, matriz nula e matriz identidade.

D) matriz coluna, matriz nula e matriz triangular.

E) matriz coluna, matriz triangular e matriz identidade. 

questão 9

As matrizes podem ser classificadas de acordo com as suas características. Analise as alternativas a seguir e marque a que contém uma matriz triangular inferior.

questão 10

 Sobre as propriedades de uma matriz triangular, podemos afirmar que:

I → o determinante é a soma dos elementos da diagonal principal.

II → se um dos termos da diagonal principal for zero, então a matriz triangular não será inversível.

III → a soma de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.

Estão corretas:

A) somente I e II.

B) somente II e III.

C) somente I e III.

D) todas as afirmativas.

E) nenhuma das afirmativas. 

questão 11

Considere a matriz a seguir.

O seu determinante é igual a:

A) 9.

B) 15.

C) 12.

D) 0.

E) 45.

questão 12

(FAU) Dada uma matriz A triangular superior e uma matriz B diagonal, a multiplicação dessas matrizes, ou seja, AB, resultará em uma matriz do tipo?

A) Identidade.

B) Triangular inferior.

C) Diagonal.

D) Triangular superior.

E) Nula.

respostas
Questão 1

Alternativa B. Note que a matriz possui elementos não nulos acima da diagonal principal e que, abaixo da diagonal principal, todos os seus elementos são iguais a zero, o que faz com que essa matriz seja uma matriz triangular superior.

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Questão 2

Alternativa E. Como A é uma matriz triangular, o determinante dessa matriz é igual à multiplicação dos termos da diagonal principal.

det (A) = 1 · 2 · 3 · 5 · 1 = 30

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Questão 3

Alternativa A. A matriz é de ordem 3, então vamos encontrar cada um dos seus termos, levando em consideração a condição citada na questão, ou seja, quando o número de linhas é menor que o número de colunas, o termo é igual a zero; caso o número de linhas seja maior ou igual ao número de colunas, o termo é a diferença entre a linha e a coluna.

m11 = 1 – 1 = 0
m12 = 0
m13 = 0
m21 = 2 – 1 = 1
m22 = 2 – 2 = 0
m23 = 0
m31= 3 – 1 = 2
m32= 3 – 2 = 1
m33= 3 – 3 = 0

A matriz é triangular inferior.

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Questão 4

Alternativa D.

Multiplicando as matrizes, temos que:

Para que a matriz seja triangular, faremos:

4x + 3x + 5 = 0
7x + 5 = 0
7x = – 5
x = – 5/7

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Questão 5

 Alternativa C.

I → Verdadeira, pois toda matriz triangular é quadrada.

II → Verdadeira, pois uma das propriedades da matriz triangular é que seu determinante é o produto dos termos da diagonal principal.

III → Falsa. Ao realizar a soma de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior, a resposta é uma matriz que não é triangular. 

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Questão 6

Alternativa B.

Para que a soma A + B seja triangular superior, temos que:

I) b + 2b + 3 = 0

Resolvendo a equação:

3b + 3 = 0
3b = – 3
b = – 3/3
b = – 1

II) 2a + 9 = 0

Resolvendo a equação:

2a + 9 = 0
a = – 9/2
a = – 4,5
c = 0

Agora vamos calcular a expressão:

a – b + c
– 4,5 – ( – 1) + 0
– 4,5 + 1
– 3,5

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Questão 7

Alternativa B.

Como B é uma matriz triangular, então:

Note que Bt é uma matriz triangular inferior.

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Questão 8

  Alternativa D.

A → É uma matriz coluna, pois possui só uma coluna.

B → É uma matriz nula, pois todos os seus termos são iguais a zero.

C → É uma matriz triangular superior, pois os termos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.  

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Questão 9

Alternativa B.

A matriz que contém os termos acima da diagonal principal iguais a zero é conhecida como matriz triangular inferior. A única alternativa que satisfaz a definição é a B.

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Questão 10

 Alternativa B.

I → Falsa, pois é o produto dos termos da diagonal principal, e não a soma.

II → Verdadeira, pois a matriz é inversível quando o determinante é diferente de zero. Se há um termo igual a zero na diagonal principal, então o determinante da matriz triangular é zero, o que faz com que ela não seja inversível.

III → Verdadeira. Como os termos abaixo da diagonal principal são iguais a zero em ambas, então eles continuarão sendo zero na soma. 

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Questão 11

Alternativa E.

Essa matriz é triangular inferior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto da diagonal principal, independentemente da ordem da matriz. Então, temos que:

det(A) = 1·3·3·1·5 = 45

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Questão 12

Alternativa D.

Como a questão não informa a ordem da matriz, faremos a partir da mais simples. Suponha que ela seja uma matriz de ordem 2, então:

AB é uma matriz triangular superior.

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