Exercícios sobre Números Binomiais

Se desejamos saber o 6° termo do binômio de Newton, consideramos k = 5, n = 6, x = a e y = – 1. Logo:

T_{5 + 1} = .a^{6 – 5}.(– 1)⁵

T₆ =        6!     .a¹.(– 1)
5! (6 – 5)!     

T₆ = 6 . 5! .a.(– 1)
5!. 1!     

T₆ = – 6.a⁵

Portanto, o sexto termo do desenvolvimento do binômio (a – 1)⁶ é – 6.a⁵.

Considerando que o primeiro termo é (a – 2)⁰, sabemos que esse binômio possui dez termos. Logo precisamos determinar o 5° termo, isto é, estamos procurando T_5. Para tanto, temos k = 4, n = 9, x = a e y = – 2.

T_{4 + 1} = .a^{9 – 4}.(– 2)⁴

T₅ =       9!     .a⁵. 2⁴
4! (9 – 4)!   

T₅ = 9 . 8 . 7 . 6 . 5! .a⁵. 16
(4. 3 . 2 .1). 5!   

T₅ = 9 . 8 . 7 . 6 .a⁵. 16
24   

T₅ = 48384.a⁵
  24

T₅ = 2016.a⁵

O termo central do número binomial (a – 2)⁹ é 2016.a⁵.

Para determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de binômios como esse, basta considerar x = 1 e y = 1. Dessa forma, teremos:

(2x + y)⁵ = (2.1 + 1)⁵ = (3)⁵ = 243

O valor encontrado de 243 corresponde exatamente à soma dos coeficientes de (2x + y)⁵, portanto, a alternativa correta é a letra c.

Para determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de um número binomial, não é necessário utilizar a fórmula-padrão do binômio de Newton, basta considerar as variáveis como 1, isto é, basta fazer x = 1 e y = 1. Dessa forma, teremos:

(14x – 13y)²³⁷ = (14.1 – 13.1)²³⁷ = (14 – 13)²³⁷ = 1²³⁷ = 1

Sendo assim, podemos identificar que a soma dos coeficientes de (14x – 13y)²³⁷ é 1. Logo, a alternativa correta é a letra b.