Exercícios sobre números inteiros
(FGV – 2006) Pedro tirou menos de uma centena de fotos da festa de comemoração ao seu aniversário e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada página desse álbum cabem, no máximo, 10 fotos. Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, depois de preenchidas algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos por página e ainda assim sobrou uma foto. Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada página contivesse o mesmo número de fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu?
a) 9
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Esse é um exercício sobre números inteiros. Para resolver essa questão devemos descobrir as duas equações que estão subentendidas na pergunta. Cada equação representa uma ação e ambas as ações envolvem números inteiros. Vamos identificar as incógnitas e depois montar as duas equações.
x = número de páginas
y = total de fotos
z = número de páginas na nova tentativa.
Equação da primeira tentativa: 6 . x + 1 = y
Equação da segunda tentativa: 7 . z + 1 = y
O total de fotos em ambas as tentativas é o mesmo, esse total é dado por y. Sendo assim, podemos igualar as equações referentes à primeira e à segunda tentativa. Com a finalidade de encontrar os valores numéricos para a incógnita x e z, veja:
6 . x + 1 = y
6 . x + 1 = 7 . z + 1
Devemos agora pensar nos valores numéricos que podem ser a solução para a equação 6 . x + 1 = 7 . z + 1. Utilizando o método da tentativa, encontramos que 6 . x + 1 e 7 . z + 1 serão iguais quando:
X={7, 14} e z = {6, 12}
Para verificar a validade dos valores encontrados para x e z basta tirarmos a prova real.
Para x = 7 e z = 6
6 . x + 1 = 7 . z + 1
6 . 7 + 1 = 7 . 6 + 1
42 + 1 = 42 + 1
43 = 43
Para x = 14 e z = 12
6 . x + 1 = 7 . z + 1
6 . 14 + 1 = 7 . 12 + 1
84 + 1 = 84 + 1
85 = 85
Como já encontramos os possíveis valores para x e z, devemos encontrar o valor de y. Para isso substitua os valores de x e z nas duas equações referentes às tentativas.
Equação da primeira tentativa: 6 . x + 1 = y
X={7, 14}
Para x = 7
6 . x + 1 = y
6 . 7 + 1 = y
43 = y
Para x = 14
6 . x + 1 = y
6 . 14 + 1 = y
85 = y
Equação da segunda tentativa: 7 . z + 1 = y
Z = {6, 12}
Para z = 6
7 . z + 1 = y
7 . 6 + 1 = y
43 = y
Para z = 12
7 . 12 + 1 = y
85 = y
Considerando os valores que encontramos para y, temos que o total de fotos seria os números inteiros 43 ou 85.
O valor correto a ser considerado para o total de fotos (y) é 85. Porque 43 é um número primo. Devemos fatorar 85 com a finalidade de encontrar a quantidade de fotos que teríamos por página.
85|5
17|17
1|
85 = 5 . 17 . 1
Temos então que é possível ter: 5 fotos por página, 17 fotos por página ou 1 foto por página.
De todas essas alternativas referentes à quantidade de fotos por página, a única que pode ser resposta é 17, pois o álbum possui somente 20 páginas. A alternativa correta é a letra b.
(UFMT MG – 2006) XYZ4 e X4YZ representam dois números inteiros de quatro algarismos. Se X4YZ excede XYZ4 em 288 unidades, então Z-Y é igual a:
a) -3
b) -1
c) 1
d) 3
e) 5
Vamos inicialmente estruturar o algoritmo da subtração.
x4yz
- xyz4
?288
Para encontrar os valores referentes a y e z, faça:
Z– 4 = 8 → z= 8 + 4 → z = 12.
Ao decompor o número 12 temos: 12 = (10+2), sendo assim z = 2.
(y – 1) – z = 8 → y – 1 – 2 = 8 → y = 8 + 3 → y = 11. Temos então que y = 11, sendo assim, y pega uma dezena do algarismo 4 que passa a ser 3, onde 11 = (10+1), logo y=1
Não temos a necessidade de encontrar o valor da incógnita x, pois o que o exercício quer saber é a diferença entre z e y. Para encontrar a resposta final solicitada pelo exercício faça:
z – y = 2 – 1 = 1
A alternativa correta é a letra c.
Efetue as expressões numéricas:
a) 2 +4 – 2 =
b) 2 {3 + 1 [5 – 4 (3. 2)] – 8}=
c) – 2 + 6 – 10 – 4 =
a) 2 + 4 – 2 = (Resolva a expressão numérica da esquerda para direita)
2 +4 – 2 = 6 – 2 = 4
b) 2 {3 + 1 [5 – 4 (3. 2)] – 8} (Resolva a expressão numérica da esquerda para a direita e lembre-se de que primeiro são parênteses ( ), depois colchetes [ ] e, por último, chaves { }.
2 {3 + 1 [5 – 4 (3. 2)] – 8}= 2 {3 + 1 [5 – 4 (6)] – 8} = 2 {3 + 1 [5 – 24] – 8} = 2 {3 + 1 [-19] – 8} =2 {3 – 19 – 8} = 2 {3 – 27} = 2 {– 24} = – 48
c) – 2 + 6 – 10 – 4 = (Resolva a expressão numérica da esquerda para direita)
– 2 + 6 – 10 – 4 = 4 – 10 – 4 = – 6 – 4 = - 10
Numa divisão de números inteiros, o divisor é 8, o quociente é 12 e o resto é 7. Qual é o valor numérico inteiro do dividendo?
Para solucionar devemos calcular o valor numérico do dividendo por meio de uma equação.
Dados do problema:
D= divisor = 8
Q= Quociente = 12
R= Resto= 7
Di = dividendo = ?
Solução: Utilizando o algoritmo da multiplicação é possível estruturar uma equação que calcule o valor numérico do dividendo.
Di = D x Q + R
Di = 8 x 12 + 7
Di = 103
O valor numérico inteiro do dividendo é 103.
