Exercícios sobre números primos

Para ser número primo, um número deve ser divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, caso um número seja múltiplo de qualquer outro, ele não é primo.

a) 88 é divisível por 2, 4, 8, 11, 22, entre outros. Logo, como existem divisores diferentes de 1 e de 88, dizemos que 88 não é primo.

b) 19 não é divisível por qualquer número. Existem dois resultados para facilitar os cálculos. O primeiro diz que o 19 não é divisível por nenhum número maior que ele. O segundo afirma que, para testar se 19 é divisível por algum número, é necessário tentar dividi-lo por todos os números entre 1 e metade de 19. Não é necessário tentar dividi-lo por qualquer número maior que sua metade.

Logo, 19 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, nem por 11. Como 11 já é maior que metade de 19, não é necessário tentar mais nenhuma divisão.

c) 101 é primo porque não é divisível por nenhum número primo menor que ele.

Para encontrar a decomposição em fatores primos de um número, basta realizar o seguinte procedimento:

a)

600|2
300|2
150|2
  75|3
  25|5
    5|5
      1

A decomposição em fatores primos de 600 é 2³·3·5². Logo, podemos escrever: 600 = 2³·3·5²

b)

1024|2
  512|2
  256|2
  128|2
   64|2
   32|2
   16|2
     8|2
     4|2
     2|2
       1

Logo, a decomposição de 1024 em fatores primos é 2¹⁰. Portanto, 1024 = 2¹⁰.

c)

720|2
360|2
180|2
  90|2
  45|3
  15|3
    5|5
      1

A decomposição de 720 em fatores primos é 2⁴·3²·5. Logo, 720 = 2⁴·3²·5.

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o produto entre as maiores potências cuja base é um número primo presente nas decomposições desses números. Dessa maneira, observe as decomposições dos números 720 e 600:

720 = 2⁴·3²·5

600 = 2³·3·5²

O MMC entre 720 e 600 é 2⁴·3²·5², pois essas são as maiores potências encontradas na decomposição de ambos.

Logo, o MMC entre 720 e 600 é 3600.

Para calcular raízes, é possível utilizar a decomposição em fatores primos. Observe:

a)

√3600 = √(2⁴·3²·5²)

A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,

√(2²·2²·3²·5²) = 2·2·3·5 = 60

b) Como 720 não possui raiz quadrada exata, é possível escrever essa raiz quadrada como o produto de um número pela raiz de um número primo ou calcular uma aproximação. Observe:

√720 = √(2⁴·3²·5) = √(2²·2²·3²·5)

A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,

√(2²·2²·3²·5) = 2·2·3√5 = 12√5

Assim sendo, √720 = 12√5. Caso seja necessário uma aproximação do valor numérico de √720, o seguinte pode ser feito:

√720 = 12√5 = 12·2,23 = 26,83