Exercícios sobre números primos
Dada a lista de números a seguir, marque a alternativa que possua um número não primo.
A) 2
B) 7
C) 31
D) 25
E) 29
Alternativa D.
O número 25 é divisível por 5, logo ele não satisfaz a condição de possuir somente dois divisores.
Considerando o conjunto dos números naturais, sobre os números primos, julgue as afirmativas a seguir:
I. Todo número primo é ímpar.
II. O número 1 é um número primo.
III. Todo número primo possui exatamente dois divisores.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a I é verdadeira
B) Somente a II é verdadeira
C) Somente a III é verdadeira
D) Todas são falsas
Alternativa C.
I. Todo número primo é ímpar. (falsa)
O número 2 é par e primo.
II. O número 1 é um número primo. (falsa)
O número 1 não satisfaz a definição de número primo, pois possui somente 1 divisor.
III. Todo número primo possui exatamente dois divisores. (verdadeira)
Um número primo é um número que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, logo ter exatamente dois divisores é a definição de número primo.
O número 24 pode ser representado em fatores primos por:
A) 2² ⋅3
B) 2⋅33
C) 23⋅3
D) 2 ⋅3
E) 2⋅32
Alternativa C.
A representação em fatores primos do número 24 é \(24=2^3\cdot3\), pois temos que:
\(2^3\cdot3\)
\(8\ \cdot3\)
\(24\)
Observe os números abaixo e marque a alternativa em que todos os números são primos.
A) {2;3;9;11;111}
B) {1;2;3;5;7}
C) {2;7;13;31;47}
D) {3;7;23;123;119}
E) {2;3;77;179;209}
Alternativa C.
Vamos analisar cada uma das alternativas acima:
Na alternativa A, o número 9 não é primo, pois 3∙3=9.
Na alternativa B, o número 1 não é primo, pois não satisfaz a condição de ter exatamente dois divisores.
Na alternativa C, 2, 7, 13, 31 e 47 são todos números primos, pois são todos divisíveis somente por 1 e por ele mesmo.
Na alternativa D, o número 123 não é primo, pois 3∙41=123.
Na alternativa E, o número 77 não é primo, pois 7∙11=77.
Utilize a decomposição em fatores primos e determine o MDC entre os números 224 e 360.
A) 6
B) 8
C) 9
D) 18
E) 24
Alternativa B.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 224, temos: 224=25∙7.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 360, temos: 360=23∙32∙5.
Quando olhamos para os fatores em comum, observamos que apenas o número 2 é comum e devemos pegar o menor expoente desse fator, que é o 3. Logo o MDC é 23=8.
Determine o MMC entre os números 224 e 360, utilizando a decomposição em fatores primos.
A) 10080
B) 5040
C) 2016
D) 1440
E) 2520
Alternativa A.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 224, temos: 224=25∙7.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 360, temos: 360=23∙32∙5.
Devemos pegar todos os fatores primos de cada um desses números e o maior dos expoentes entre cada um desses números primos. Logo temos que o MMC é 25∙32∙5∙7=10080.
Um fazendeiro tem um campo retangular com dimensões de 40 metros de comprimento e 60 metros de largura. Ele deseja dividir o campo em parcelas retangulares iguais, de modo que cada parcela tenha a maior área possível e sem sobras. Quantas parcelas ele pode criar e qual é a área de cada parcela?
A) 8 parcelas de área 30 m2
B)6 parcelas de área 40 m2
C) 12 parcelas de área 20 m2
D) 24 parcelas de área 10 m2
E) 16 parcelas de área 15 m2
Alternativa B.
Este é um exercício que exige analisar o MDC entre as dimensões dos números 40 e 60.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 40, temos: 40 = 23∙5.
Fazendo a decomposição em fatores primos do número 60, temos: 60 = 22∙3∙5.
Quando olhamos para os fatores em comum, observamos que o número 2 e o número 5 são os únicos em comum. Devemos pegar o menor expoente desses fatores.
Logo o MDC (40, 60) = 22 ⸳ 5 = 20.
Vamos determinar o número de parcelas. O lado com 60 metros pode ser dividido em 3 partes de 20 m, já o lado com 40 m pode ser dividido em 2 partes, o que nos leva a 2 ⋅ 3 = 6 parcelas.
Um número é chamado de amigo ímpar se a soma dos dígitos dos divisores positivos desse número é um número primo. Marque a alternativa que possui um número amigo ímpar.
A) 24
B) 32
C) 14
D) 23
E) 12
Alternativa E.
Na alternativa A, a representação em fatores primos do número 24 é 24 = 23∙3. Agora podemos determinar todos os divisores positivos, que são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Como o exercício quer a soma dos dígitos desses divisores, temos 1+2+3+4+6+8+1+2+2+4=33, que não é primo.
Na alternativa B, a representação em fatores primos do número 32 é 32 = 25. Agora podemos determinar todos os divisores positivos, que são 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Como o exercício quer a soma dos dígitos desses divisores, temos 1+2+4+8+1+6+3+2=27, que não é primo.
Na alternativa C, a representação em fatores primos do número 14 é 14 = 2∙7. Agora podemos determinar todos os divisores positivos, que são 1, 2, 7, 14. Como o exercício quer a soma dos dígitos desses divisores, temos 1+2+7+1+4=15, que não é primo.
Na alternativa D, o número 23 é primo, logo os divisores positivos de 23 são 1 e 23. Como o exercício quer a soma dos dígitos desses divisores, temos 1+2+3=6, que não é primo.
Na alternativa E, a representação em fatores primos do número 12 é 12 = 22∙3. Agora podemos determinar todos os divisores positivos, que são 1, 2, 3, 4, 6, 12. Como o exercício quer a soma dos dígitos desses divisores, temos 1+2+3+4+6+1+2=19, que é primo.
Os números primos gêmeos são importantes na teoria dos números, porque são pares de números primos consecutivos com uma diferença de 2. Eles desempenham um papel fundamental em conjecturas e problemas não resolvidos, como a conjectura dos gêmeos, que se pergunta se há infinitos números primos gêmeos. Marque a alternativa que possui a soma dos primeiros 3 pares de números primos gêmeos.
A) 44
B) 10
C) 15
D) 23
E) 49
Alternativa A.
Primeiro vamos olhar os primeiros números primos e depois determinaremos os pares de números primos. Os primeiros primos são {2;3;5;7;11;13;17;19…}
Logo os três primeiros pares de números primos gêmeos são (3,5); (5,7) e (11,13).
A soma desses números é 3+5+5+7+11+13=44.
Os números primos esporádicos são definidos como aqueles cuja soma dos expoentes de seus fatores primos seja divisor do próprio número. Marque a alternativa que não possui um número primo esporádico.
A) 24
B) 32
C) 14
D) 22
E) 12
Alternativa B.
Na alternativa A, a representação em fatores primos do número 24 é 24=23∙3. Agora podemos determinar a soma dos expoentes, que é 3+1=4, divisor de 24.
Na alternativa B, a representação em fatores primos do número 32 é 32 =25. Agora podemos determinar a soma dos expoentes, que é 5, não divisor de 32.
Na alternativa C, a representação em fatores primos do número 14 é 14=2∙7. Agora podemos determinar a soma dos expoentes, que é 1 + 1 = 2, divisor de 14.
Na alternativa D, o número 23 é primo, logo o expoente que procuramos é o número 1, que é divisor de 23.
Na alternativa E, a representação em fatores primos do número 12 é 12=22∙3. Agora podemos determinar a soma dos expoentes, que é 2 + 1 = 3, divisor de 12.
“Números primos entre si”, também conhecidos como “números coprimos” ou “números relativamente primos”, são dois números inteiros que não têm nenhum divisor positivo comum além de 1. Em outras palavras, dois números são primos entre si quando o maior divisor comum (MDC) entre eles é igual a 1. O MDC de dois números é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto. Marque a alternativa em que existe dois números primos entre si.
A) 4 e 102
B) 33 e 77
C) 57 e 63
D) 18 e 35
E) 22 e 165
Alternativa D.
Na alternativa A, os números 4 e 102 são pares, logo o MDC deles não é 1, pois ambos são divisíveis por 2, por exemplo.
Na alternativa B, os números 33 e 77 são divisíveis por 11, logo o MDC deles não é 1.
Na alternativa C, os números 57 e 63 são divisíveis por 3, logo o MDC deles não é 1.
Na alternativa D, observe a decomposição dos números 18 e 35 em fatores primos: 18=2∙32 e 35=5∙7. Como não possuem fatores comuns, seu MDC é 1.
Na alternativa E, os números 22 e 165 são divisíveis por 11, logo o MDC deles não é 1.
Os números da forma 2n-1, em que k e n são inteiros positivos, são conhecidos como “números de Mersenne”. Esses números desempenham um papel importante na teoria dos números e na matemática, em particular na teoria dos números primos, e têm várias propriedades interessantes. Para ser mais preciso, um número de Mersenne é considerado primo se e somente se o expoente n é primo e o número resultante 2n-1 é também primo. No entanto, nem todos os números de Mersenne são primos, e encontrar números primos de Mersenne é uma tarefa desafiadora. Verifique qual alternativa abaixo possui um número primo de Mersenne.
A) 1023
B) 31
C) 29
D) 511
E) 255
Alternativa B.
Na alternativa A, o número 1023 é divisível por 3, logo não é primo, como consequência não pode ser número primo de Mersenne.
Na alternativa B, o número 31 pode ser escrito como 31=25-1. Como o expoente é um número primo e 31 é primo, temos aqui um número primo de Mersenne.
Na alternativa C, o número 29 é um número primo, porém não pode ser escrito como 2n-1, pois 24-1=15 e 25-1=31.
Na alternativa D, o número 511 pode ser escrito como 29-1, porém ele não é primo, pois é divisível por 7.
Na alternativa E, o número 255 pode ser escrito como 28-1, porém ele não é primo, pois é divisível por 5.
