Exercícios sobre Permutação de Números e Letras
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Permutação de Números e Letras e veja a resolução comentada.
Publicado por: Gabriel Alessandro de OliveiraQuestões
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Questão 1
U.F.Pelotas – RS
Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as questões a seguir.
a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.
Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;
P3 = 3! = 3.2.1 =6
Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.
_____ _____ _____ _____ _____
Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.
_____ _____ _____ _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.
Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.
U _ __E _ _____ _____ _____;
_____ U _ E _ _____ _____;
_____ _____ U _ E _ _____;
_____ _____ _____ U _ E _;Ou seja, 4 possibilidades.
Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.
Possibilidades = 4.P2 .P3
P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E)
Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48
b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.
Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.PEL ____ ____
____ PEL ____
____ ____ PELOu seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.
Possibilidades = 3.P2
P2 = Permutação das letras (UF)
Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6
Temos então 6 possibilidades.
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Questão 2
Um engenheiro de software deseja criar um programa que teste todas as possibilidades de senha de um sistema de uma empresa. A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois algarismos distintos. Sendo assim, responda:
a) Neste caso não permutaremos todas as letras, pois não temos esse espaço, afinal a senha possui apenas 4 dígitos formados por letras. Isto vale também para os números. Portanto, utilizaremos o caso geral da permutação, que é o Arranjo.
Lembre-se:
Para as letras, temos:
Para os números, temos:
Com isso,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.
Senhas = 358800.90 = 32292000 possibilidades
b) Agora temos restrições para as letras e para os números. Letras: apenas consoantes; e números: somente aqueles maiores que 5.
Teremos, então, 21 possíveis letras para as senhas e 4 números (6,7,8,9).
Com isso, nossa senha ficará da seguinte forma.
Para as letras, temos:
Para os números, temos:
Dessa forma,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.
Senhas = 143640.12 = 1723680 possibilidades
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Questão 3
Um banco adquire um cofre com um sistema de segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6 dígitos. Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou números distintos, responda:
a) Nosso campo de possibilidades para os dígitos é um total de 36 caracteres (26 letras e 10 números). Tratando-se de 6 dígitos, faremos os arranjos para esta senha.
b) Temos que os três primeiros dígitos devem ser vogais, ou seja, combinaremos as 5 vogais em três dígitos.
Para os outros 3 dígitos teremos os 36 possíveis caracteres, menos as vogais utilizadas, ou seja, 36-3 = 33 possíveis caracteres para a senha.
Com isso,as possíveis senhas serão dadas pelas multiplicações das possibilidades acima.
Senha s= 60.32736 = 1964160 possibilidades -
Questão 4
Os produtos de uma empresa são armazenados no banco de dados com um código de 4 letras maiúsculas seguidas por 5 algarismos. Esse sistema será modificado para permitir letras maiúsculas e minúsculas. Após essa modificação, o número atual de códigos será multiplicado por:
Vamos construir o sistema de contagem deste código.
26 possibilidades para as letras
10 possibilidades para os números.O código será da seguinte forma:
LETRA LETRA LETRA LETRA Nº Nº Nº Nº Nº.
Com a nova formação do código podendo ser maiúscula ou minúscula, cada letra da senha terá duas possibilidades (maiúscula ou minúscula). Denotaremos esta possibilidade por (2p):
LETRA (2p) LETRA (2P) LETRA (2p) LETRA (2p) Nº Nº Nº Nº Nº.
Sabemos que se formos calcular as possibilidades, devemos multiplicar a possibilidade de cada dígito. O diferencial entre o código antigo e o novo são as novas possibilidades para cada letra, ou seja, a diferença de possibilidades entre o antigo e o novo estará no resultado das novas possibilidades.
Possibilidade para os quatro primeiros dígitos do código antigo:
Possibilidade antiga = A(26,4) = 26letras.25letras.24letras.23letras
Possibilidade para os quatro primeiros dígitos do código novo:
Possibilidade das letras = 26 letras .(2).25letras.(2).24letras.(2).23letras.(2)
Possibilidade das letras = (2).(2).(2).(2).26 letras .25letras.24letras.23letras
Possibilidade das letras = 16.(Possibilidade antiga)
Como os números não mudam, a possibilidade do novo código será:
Novo código = 16.26letras.25letras.24letras.23letras.10números.9números
Ou seja, o número atual de códigos será multiplicado por 16 em relação ao antigo.
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Questão 5
Vunesp - SP
Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Fixaremos o número 1 no primeiro algarismo, permutando os demais. Dessa forma, teremos 5 números para permutarmos em 5 casas.
b) Deveremos calcular quantos números tem em cada casa, na ordem.
Para o primeiro algarismo igual a 1, já temos 120 números.
Para o primeiro algarismo igual a 2, teremos também 120 números.
Para o primeiro algarismo igual a 3, teremos 120 números.
Para o primeiro algarismo igual a 4, teremos 120 números.
O primeiro número após os algarismos, com a primeira casa igual a 4, será o primeiro número da ordem de números com primeiro algarismo igual a 5.
E será o número 512346.
Ou seja, esse número ocupa a posição 481º.
Agora vamos encontrar o número que ocupa a 242ª posição. Vimos que até a 240ª posição são números formados pelos algarismos 1 e 2 na primeira posição, sendo que o número que ocupa a 241ª posição inicia-se com o algarismo 3 na primeira posição.
241ª = 312456
242ª = 312465
Neste caso foi fácil encontrar o número escrevendo-o, pois a posição encontrava-se próxima à mudança de algarismo.