Exercícios sobre relação das raízes da equação de 2º Grau
Sejam x' e x'' as raízes da equação do 2° grau x² + 2x – 15 = 0. Determine a soma dos inversos de x' e x''.
A soma dos inversos de x' e x'' é dada por:
1 + 1 = x' + x''
x' x'' x' · x''
Sem que seja necessário resolver a equação, podemos utilizar a relação das raízes da equação de 2º grau para identificar x' + x'' e x' · x''. Sejam a = 1, b = 2 e c = – 15 os coeficientes da equação que substituiremos nas igualdades a seguir:
x' + x' = – b = – 2 = – 2
a 1
x' · x' = c = – 15 = – 15
a 1
Sendo assim, podemos calcular a soma dos inversos de x' e x'':
1 + 1 = x' + x'' = – 2 = 2
x' x'' x' · x'' – 15 15
Considere a equação do 2° grau – 3x² + (n – 5)x + (10 – n) = 0 e n como um número natural qualquer. Determine o valor de n de forma que:
a) o produto das raízes seja – 10/3.
b) a soma das raízes seja – 2.
a) Na equação – 3x² + (n – 5)x + (10 – n) = 0, os coeficientes são a = – 3, b = n – 5 e c = 10 – n. Sejam x' e x'' as raízes da equação. Para que seu produto seja – 10/3, aplicaremos uma das relações de Girard:
x' · x' = c
a
– 10 = 10 – n
3 – 3
– 10 = – 10 + n
n = 10 – 10
n = 0
Portanto, para que tenhamos x' · x' = – 10/3, é necessário que n = 0.
b) Para que a soma das raízes x' e x'' seja – 2, teremos (utilizaremos novamente a relação de Girard):
x' + x' = – b
a
– 2 = n – 5
– 3
– 6 = n – 5
n = – 6 + 5
n = – 1
Então, para que tenhamos x' · x' = – 2, é necessário que n = – 1.
(Fuvest) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 10x² + 33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5·x1·x2 + 2·(x1 + x2) é:
a) – 33
b) – 10
c) – 7
d) 10
e) 33
Sejam x1 e x2 as raízes de uma equação do 2° grau cujos coeficientes são a = 10, b = 33 e c = – 7. Utilizando as relações das raízes da equação de 2° grau, temos:
x1 + x2 = – b = – 33 = – 3,3
a 10
x1·x2 = c = – 7 = – 0,7
a 10
Sendo assim, podemos determinar o valor numérico da expressão 5·x1·x2 + 2·(x1 + x2):
5·x1·x2 + 2·(x1 + x2)
5·(– 0,7) + 2·(– 3,3)
– 3,5 – 6,6
– 10,1
Portanto, o número inteiro mais próximo de – 10,1 é o – 10, e a alternativa correta é a letra b.
(Fuvest) Se m e n são raízes da equação 7x² + 9x + 21 = 0, então (m + 7)·(n + 7) vale:
a) 49
b) 43
c) 37
d) 30
e) 30
7
Primeiramente, vamos desenvolver a expressão (m + 7)·(n + 7) através da propriedade distributiva:
(m + 7)·(n + 7)
m·n + 7·m + 7·n + 7·7
m·n + 7·(m + n) + 49
Observe que na expressão aparece apenas a soma e a multiplicação das raízes da equação 7x² + 9x + 21 = 0. Por essa razão, não precisamos resolver toda a equação, basta aplicar nas relações de Girard os coeficientes da equação (a = 7, b = 9 e c = 21):
m + n = – b = – 9
a 7
m · n = c = 21 = 3
a 7
Substituindo os valores de m + n e de m · n, temos:
m·n + 7·(m + n) + 49
3 + 7·(– 9) + 49
7
3 + – 9 + 49
43
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
