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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre sistemas lineares

Exercícios sobre sistemas lineares

Com esta lista de exercícios, você testará seus conhecimentos sobre sistemas lineares, também conhecidos como sistemas de equação.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

Questões

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Questão 1

Durante uma visita à padaria, Kárita comprou 2 pedaços de bolo de cenoura e uma dose de café, pagando, ao todo, R$ 3,50. Sua irmã, Karla, comprou 1 pedaço de bolo de cenoura e 2 doses de café, pagando um total de R$ 2,50. Analisando essa situação, se uma pessoa comprar 1 pedaço de bolo de cenoura e 1 café, o valor pago por ela será de:
Alternativa D

Para montar o sistema de equações, temos:

x → valor do pedaço do bolo de cenoura

y → valor da dose de café

Então, calcula-se:

Pelo método da substituição, isolando y na equação I, obtém-se o seguinte:

y = 3,5 – 2x

Substituindo na equação II:

x + 2 (3,5 – 2x) = 2,5

x + 7 – 4x = 2,5

– 3x = 2,5 – 7

– 3x = – 4,5

x = – 4,5 : ( – 3)

x = 1,5

Sabendo que x = 1,5, substituímos o valor na equação I:

2x + y = 3,50

2 · 1,5 + y = 3,50

3 + y = 3,50

y = 3,50 – 3

y = 0,5

Sendo assim, o preço de um pedaço de bolo mais uma dose de café é de 1,5 + 0,5 = 2, ou seja, R$ 2,00.
Questão 2

Em um estacionamento, há motos e carros, em um total de 25 veículos. Sabendo há 74 rodas nesse estacionamento, podemos afirmar que
Alternativa C

Para montar o sistema, temos:

x → quantidade de carros

y → quantidade de motos

Então, calcula-se:

Isolando y na equação I:

y = 25 – x

Substituindo na equação II:

4x + 2 (25 – x) = 74

4x + 50 – 2x = 74

2x = 74 – 50

2x = 24

x = 24 : 2

x = 12 → Há 12 carros.

Como há um total de 25 veículos, então 25 – 12 = 13. Logo, há 13 motos.

Podemos afirmar, portanto, que há 1 moto a mais que a quantidade de carros.
Questão 3

Matheus tem um total de R$ 115,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 20,00. Considerando que ele possui um total de 11 cédulas, a quantidade de notas de R$ 5,00 que ele possui a mais que as de R$ 20,00 é igual a:
Alternativa B

Para montar o sistema, temos:

x → quantidade de notas de 5,00

y → quantidade de notas de 20,00

Então, calcula-se:

Isolando o x na equação I:

x = 11 – y

Substituindo na equação II:

5 (11 – y) + 20y = 115

55 – 5y + 20y = 115

15y = 115 – 55

15y = 60

y = 60 : 15

y = 4

Sabendo que há 4 notas de 20 reais:

x + y = 11

x + 4 = 11

x = 11 – 4

x = 7

Logo, 7 – 4 = 3, então há 3 notas de R$ 5,00 a mais que notas de R$ 20,00.
Questão 4

Sabe-se x e y são as incógnitas do seguinte sistema linear:

O valor do produto entre x e y é:
Alternativa A

I → 2x + 3y = 4

II → x – 5y = 2

Isolaremos a variável x na equação II:

x = 2 – 5y

Agora, substituiremos x na equação I:

2 (2 – 5y) + 3y = 4

4 – 10y + 3y = 4

4 – 7y = 4

– 7y = 4 – 4

– 7y = 0

y = 0 : ( – 7)

y = 0

Sabendo que y = 0, obtemos:

x – 5y = 2

x – 5 · 0 = 2

x – 0 = 2

x = 2

Dessa forma, o produto é de 2 · 0 = 0.
Questão 5

Em um clube, há dois tipos de público, os sócios e os não sócios. Durante o evento da virada de ano, o clube decidiu fazer uma festa em que os sócios pagariam R$ 50,00 para participar e os não sócios pagariam R$ 120,00. Sabendo que no evento havia um total de 300 pessoas e que foram arrecadados R$ 22.700,00, o número de sócios e não sócios que foram à festa é de, respectivamente,
Alternativa B

Sendo x a quantidade de sócios e y a quantidade de não sócios, de acordo com as informações dadas, podemos montar o seguinte sistema de equações:

Na segunda equação, isolaremos x:

x + y = 300

x = 300 – y

Agora, substituiremos na primeira equação o valor de x:

50 (300 – y) + 120 y = 22700

15000 – 50y + 120y = 22700

70y = 22700 – 15000

70y = 7700

y = 7700 : 70

y = 110

Considerando que havia 110 não sócios, o número de sócios é igual a 300 – 110 = 190.
Questão 6

Resolvendo o sistema linear a seguir

podemos afirmar que o valor de z que satisfaz esse sistema é igual a:
Alternativa E

Utilizando a regra de Cramer, devemos calcular o determinante da matriz incompleta.

D = 2⋅( − 1)⋅( − 2) + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + ( − 1) ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1) ⋅ ( − 1) −3 ⋅ 1 ⋅ 2 − ( − 2) ⋅ 1 ⋅ 1 = − 3

Na matriz incompleta, substituiremos a terceira coluna pelos termos independentes e calcularemos o determinante D_z.

D_z = 2 ⋅ ( − 1) ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1) ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 15

Agora é possível encontrar o valor de z, dividindo D_z por D:

z = – 15 : ( – 3) = 5
Questão 7

São considerados métodos de resolução de sistemas lineares, exceto:
Alternativa E

Das alternativas propostas, somente o balanceamento não é um método utilizado para resolver sistemas lineares.
Questão 8

Os bichos de pelúcia Pluto e Mickey pesam juntos 52 kg. Sabendo que a diferença entre os pesos de Pluto e Mickey é de 4 kg, então Mickey pesa
Alternativa E

P → peso de Pluto

M → peso de Mickey

Com as variáveis, montamos o seguinte sistema:

Somando as equações, temos:

2P + 0M = 56

2P = 56

P = 56 : 2

P = 28

Agora que sabemos o peso de Pluto, encontraremos o peso de Mickey:

P + M = 52

28 + M = 52

M = 52 – 28

M = 24 kg
Questão 9

(Enem 2018) Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram 3 bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes e muitos compraram apenas 1. O total de alunos que comprou 1 único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.

Quantos alunos compraram somente 1 bilhete?
Alternativa D

Sabemos que 80 alunos não compraram bilhetes e que 45 alunos compraram 2 bilhetes. Sendo x o número de alunos compraram 1 bilhete e y o número de alunos que compraram 3 bilhetes, o total de bilhetes vendidos é dado pela seguinte equação:

x + 2 · 45 + 3y

x + 90 + 3y

Já o total de estudantes pode ser representado pela seguinte equação:

x + y + 80 + 45

x + y + 125

Sabemos que o número de ingressos vendidos excedeu em 33 o número total de alunos, então temos:

x + 90 + 3y = 33 + 125 + x + y

x – x + 3y – y = 33 + 125 – 90

2y = 68

y = 34

Segundo o enunciado, 20% dos bilhetes é igual à quantidade de alunos que compraram somente um bilhete, portanto:

x = 0,2 · total de alunos

x = 0,2 (x + 90 + 3y)

x = 0,20 (x + 90 + 3 · 34)

x = 0,2 (x + 192)

x = 0,2x + 38,4

x – 0,2x = 38,4

0,8x = 38,4

x = 38,4 : 0,8

x = 48
Questão 10

(MS Concursos) O sistema de equações:
Alternativa C

Na primeira equação, temos:

x + y = 0

x = – y

Substituindo x por – y na segunda equação, calcula-se:

2x + y + z = 0

2 ( – y) + y + z = 0

– 2y + y + z = 0

– y + z = 0

z = y

Por fim, substituindo x por – y e z por y na terceira equação, obtém-se o seguinte:

4x + 3y + z = 0

4 ( – y) + 3y + y = 0

– 4y + 3y + y = 0

0 = 0

Logo, temos como soluções do sistema qualquer par ordenado, sendo y = y, x = – y e z = y. Assim, esse sistema possui infinitas soluções.
Questão 11

(Saeb 2011) Um teste é composto por 20 questões classificadas em verdadeiras ou falsas. O número de questões verdadeiras supera o número de questões falsas em 4 unidades. Sendo x o número de questões verdadeiras e y o número de questões falsas, o sistema associado a esse problema é:
Questão 12

(IFPE) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:

1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;

2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;

3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.

Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é
Alternativa D

Montando o sistema, temos:

x → preço da caneta

y → preço do caderno

z → preço do lápis

Agora, utilizando a regra de Cramer, calcularemos D, D_x, D_y e D_z.Montando os determinantes:

D = 5 ⋅ 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 4 = 60

D_x= 62 ⋅ 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 ⋅ 44 + 10 ⋅ 66 ⋅ 3 − 44 ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3 ⋅ 62 − 7⋅ 66 ⋅ 4 = 72

D_y= 5 ⋅ 66 ⋅ 7 + 62 ⋅ 3 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ⋅ 44 − 2 ⋅ 66 ⋅ 10 − 44 ⋅ 3 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 62 = 720

D_z = 5 ⋅ 5 ⋅ 44 + 4 ⋅ 66 ⋅ 2 + 62 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 ⋅ 62 − 3 ⋅ 66 ⋅ 5 − 44 ⋅ 3 ⋅ 4 = 48

Dessa forma, obtém-se:

x = D_x : D = 72 : 60 = 1,20

y = D_y : D = 720: 60 = 12,00

z = D_z : D = 48 : 60 = 0,80

Portando, a soma do preço P de uma caneta mais um caderno mais um lápis é igual a:

P = 1,20 + 12,00 + 0,80 = 14,00