Exercícios sobre sistemas lineares

Com esta lista de exercícios, você testará seus conhecimentos sobre sistemas lineares, também conhecidos como sistemas de equação. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira
Questão 1

Durante uma visita à padaria, Kárita comprou 2 pedaços de bolo de cenoura e uma dose de café, pagando, ao todo, R$ 3,50. Sua irmã, Karla, comprou 1 pedaço de bolo de cenoura e 2 doses de café, pagando um total de R$ 2,50. Analisando essa situação, se uma pessoa comprar 1 pedaço de bolo de cenoura e 1 café, o valor pago por ela será de:

A) R$ 1,00

B) R$ 1,50

C) R$ 1,75

D) R$ 2,00

E) R$ 2,25

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Alternativa D

Para montar o sistema de equações, temos:

x → valor do pedaço do bolo de cenoura

y → valor da dose de café

Então, calcula-se:

Sistema de equações para encontrar valor de bolo e café

Pelo método da substituição, isolando y na equação I, obtém-se o seguinte:

y = 3,5 – 2x

Substituindo na equação II:

x + 2 (3,5 – 2x) = 2,5

x + 7 – 4x = 2,5

– 3x = 2,5 – 7

– 3x = – 4,5

x = – 4,5 : ( – 3)

x = 1,5

Sabendo que x = 1,5, substituímos o valor na equação I:

2x + y = 3,50

2 · 1,5 + y = 3,50

3 + y = 3,50

y = 3,50 – 3

y = 0,5

Sendo assim, o preço de um pedaço de bolo mais uma dose de café é de 1,5 + 0,5 = 2, ou seja, R$ 2,00.

Questão 2

Em um estacionamento, há motos e carros, em um total de 25 veículos. Sabendo há 74 rodas nesse estacionamento, podemos afirmar que

A) há 1 carro a mais que a quantidade de motos.

B) há 2 carros a mais que a quantidade de motos.

C) há 1 moto a mais que a quantidade de carros.

D) há 2 motos a mais que a quantidade de carros.

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Alternativa C

Para montar o sistema, temos:

x → quantidade de carros

y → quantidade de motos

Então, calcula-se:

Sistema de equações para encontrar quantidade de carros e motos em estacionamento

Isolando y na equação I:

y = 25 – x

Substituindo na equação II:

4x + 2 (25 – x) = 74

4x + 50 – 2x = 74

2x = 74 – 50

2x = 24

x = 24 : 2

x = 12 → Há 12 carros.

Como há um total de 25 veículos, então 25 – 12 = 13. Logo, há 13 motos.

Podemos afirmar, portanto, que há 1 moto a mais que a quantidade de carros.

Questão 3

Matheus tem um total de R$ 115,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 20,00. Considerando que ele possui um total de 11 cédulas, a quantidade de notas de R$ 5,00 que ele possui a mais que as de R$ 20,00 é igual a:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 7

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Alternativa B

Para montar o sistema, temos:

x → quantidade de notas de 5,00

y → quantidade de notas de 20,00

Então, calcula-se:

Sistema de equações para encontrar quantidade de notas de R$ 5,00 a mais

Isolando o x na equação I:

x = 11 – y

Substituindo na equação II:

5 (11 – y) + 20y = 115

55 – 5y + 20y = 115

15y = 115 – 55

15y = 60

y = 60 : 15

y = 4

Sabendo que há 4 notas de 20 reais:

x + y = 11

x + 4 = 11

x = 11 – 4

x = 7

Logo, 7 – 4 = 3, então há 3 notas de R$ 5,00 a mais que notas de R$ 20,00.

Questão 4

Sabe-se x e y são as incógnitas do seguinte sistema linear:

Sistema linear com incógnitas x e y

O valor do produto entre x e y é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

E) 5

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Alternativa A

I → 2x + 3y = 4

II → x – 5y = 2

Isolaremos a variável x na equação II:

x = 2 – 5y

Agora, substituiremos x na equação I:

2 (2 – 5y) + 3y = 4

4 – 10y + 3y = 4

4 – 7y = 4

– 7y = 4 – 4

– 7y = 0

y = 0 : ( – 7)

y = 0

Sabendo que y = 0, obtemos:

x – 5y = 2

x – 5 · 0 = 2

x – 0 = 2

x = 2

Dessa forma, o produto é de 2 · 0 = 0.

Questão 5

Em um clube, há dois tipos de público, os sócios e os não sócios. Durante o evento da virada de ano, o clube decidiu fazer uma festa em que os sócios pagariam R$ 50,00 para participar e os não sócios pagariam R$ 120,00. Sabendo que no evento havia um total de 300 pessoas e que foram arrecadados R$ 22.700,00, o número de sócios e não sócios que foram à festa é de, respectivamente,

A) 210 e 90.

B) 190 e 110.

C) 180 e 120.

D) 150 e 150.

E) 200 e 100.

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Alternativa B

Sendo x a quantidade de sócios e y a quantidade de não sócios, de acordo com as informações dadas, podemos montar o seguinte sistema de equações:

Sistema de equações para encontrar número de sócios e não sócios

Na segunda equação, isolaremos x:

x + y = 300

x = 300 – y

Agora, substituiremos na primeira equação o valor de x:

50 (300 – y) + 120 y = 22700

15000 – 50y + 120y = 22700

70y = 22700 – 15000

70y = 7700

y = 7700 : 70

y = 110

Considerando que havia 110 não sócios, o número de sócios é igual a 300 – 110 = 190.

Questão 6

Resolvendo o sistema linear a seguir

Sistema linear com três incógnitas

podemos afirmar que o valor de z que satisfaz esse sistema é igual a:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

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Alternativa E

Utilizando a regra de Cramer, devemos calcular o determinante da matriz incompleta.

Matriz para cálculo de determinante

D = 2⋅( − 1)⋅( − 2) + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + ( − 1) ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1) ⋅ ( − 1) −3 ⋅ 1 ⋅ 2 − ( − 2) ⋅ 1 ⋅ 1 = − 3

Na matriz incompleta, substituiremos a terceira coluna pelos termos independentes e calcularemos o determinante Dz.

Matriz incompleta com terceira coluna ocupada pelos termos independentes

Dz = 2 ⋅ ( − 1) ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 1) ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 15

Agora é possível encontrar o valor de z, dividindo Dz por D:

z = – 15 : ( – 3) = 5

Questão 7

São considerados métodos de resolução de sistemas lineares, exceto:

A) Regra de Cramer

B) Escalonamento

C) Método da adição

D) Método da substituição

E) Balanceamento

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Alternativa E

Das alternativas propostas, somente o balanceamento não é um método utilizado para resolver sistemas lineares.

Questão 8

Os bichos de pelúcia Pluto e Mickey pesam juntos 52 kg. Sabendo que a diferença entre os pesos de Pluto e Mickey é de 4 kg, então Mickey pesa

A) 28 kg.

B) 27 kg.

C) 26 kg.

D) 25 kg.

E) 24 kg.

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Alternativa E

P → peso de Pluto

M → peso de Mickey

Com as variáveis, montamos o seguinte sistema:

Sistema de equações para encontrar peso de Mickey

Somando as equações, temos:

2P + 0M = 56

2P = 56

P = 56 : 2

P = 28

Agora que sabemos o peso de Pluto, encontraremos o peso de Mickey:

P + M = 52

28 + M = 52

M = 52 – 28

M = 24 kg

Questão 9

(Enem 2018) Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram 3 bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes e muitos compraram apenas 1. O total de alunos que comprou 1 único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.

Quantos alunos compraram somente 1 bilhete?

A) 34

B) 42

C) 47

D) 48

E) 79

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Alternativa D

Sabemos que 80 alunos não compraram bilhetes e que 45 alunos compraram 2 bilhetes. Sendo x o número de alunos compraram 1 bilhete e y o número de alunos que compraram 3 bilhetes, o total de bilhetes vendidos é dado pela seguinte equação:

x + 2 · 45 + 3y

x + 90 + 3y

Já o total de estudantes pode ser representado pela seguinte equação:

x + y + 80 + 45

x + y + 125

Sabemos que o número de ingressos vendidos excedeu em 33 o número total de alunos, então temos:

x + 90 + 3y = 33 + 125 + x + y

x – x + 3y – y = 33 + 125 – 90

2y = 68

y = 34

Segundo o enunciado, 20% dos bilhetes é igual à quantidade de alunos que compraram somente um bilhete, portanto:

x = 0,2 · total de alunos

x = 0,2 (x + 90 + 3y)

x = 0,20 (x + 90 + 3 · 34)

x = 0,2 (x + 192)

x = 0,2x + 38,4

x – 0,2x = 38,4

0,8x = 38,4

x = 38,4 : 0,8

x = 48

Questão 10

(MS Concursos) O sistema de equações:

Sistema de equações com três incógnitas

A) não tem solução.

B) admite apenas uma solução trivial.

C) admite infinitas soluções.

D) admite apenas soluções não triviais.

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Alternativa C

Na primeira equação, temos:

x + y = 0

x = – y

Substituindo x por – y na segunda equação, calcula-se:

2x + y + z = 0

2 ( – y) + y + z = 0

– 2y + y + z = 0

– y + z = 0

z = y

Por fim, substituindo x por – y e z por y na terceira equação, obtém-se o seguinte:

4x + 3y + z = 0

4 ( – y) + 3y + y = 0

– 4y + 3y + y = 0

0 = 0

Logo, temos como soluções do sistema qualquer par ordenado, sendo y = y, x = – y e z = y. Assim, esse sistema possui infinitas soluções.

Questão 11

(Saeb 2011) Um teste é composto por 20 questões classificadas em verdadeiras ou falsas. O número de questões verdadeiras supera o número de questões falsas em 4 unidades. Sendo x o número de questões verdadeiras e y o número de questões falsas, o sistema associado a esse problema é:

 Alternativas de questão com sistemas lineares

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Alternativa D

Sendo x o número de questões verdadeiras e y o número de questões falsas, consideramos que a soma entre eles é igual a 20, ou seja:

x + y = 20

Além disso, sabemos que há 4 questões verdadeiras a mais que questões falsas, então a diferença entre o número de questões verdadeiras e o número de questões falsas é 4. Ou seja:

x – y = 4

A alternativa que contém o sistema com essas duas equações é a alternativa D.

Questão 12

(IFPE) Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:

1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;

2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;

3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.

Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é

A) R$ 20,00.

B) R$ 18,00.

C) R$ 16,00.

D) R$ 14,00.

E) R$ 12,00.

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Alternativa D

Montando o sistema, temos:

x → preço da caneta

y → preço do caderno

z → preço do lápis

Sistema linear para encontrar preço de caneta, caderno e lápis

Agora, utilizando a regra de Cramer, calcularemos D, Dx, Dy e Dz. Montando os determinantes:

Cálculo de determinantes

D = 5 ⋅ 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 4 = 60

Dx = 62 ⋅ 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ 3 ⋅ 44 + 10 ⋅ 66 ⋅ 3 − 44 ⋅ 5 ⋅ 10 − 3 ⋅ 3 ⋅ 62 − 7⋅ 66 ⋅ 4 = 72

Dy = 5 ⋅ 66 ⋅ 7 + 62 ⋅ 3 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 ⋅ 44 − 2 ⋅ 66 ⋅ 10 − 44 ⋅ 3 ⋅ 5 − 7 ⋅ 3 ⋅ 62 = 720

Dz = 5 ⋅ 5 ⋅ 44 + 4 ⋅ 66 ⋅ 2 + 62 ⋅ 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 ⋅ 62 − 3 ⋅ 66 ⋅ 5 − 44 ⋅ 3 ⋅ 4 = 48

Dessa forma, obtém-se:

x = Dx : D = 72 : 60 = 1,20

y = Dy : D = 720: 60 = 12,00

z = Dz : D = 48 : 60 = 0,80

Portando, a soma do preço P de uma caneta mais um caderno mais um lápis é igual a:

P = 1,20 + 12,00 + 0,80 = 14,00