Exercícios sobre a soma dos termos de uma progressão aritmética
Estes exercícios testarão suas habilidades para resolver problemas que envolvam a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Publicado por: Luiz Paulo Moreira SilvaQuestões
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Questão 1
Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)?
A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada por:
S = n(a1 + an)
2Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:
an = a1 + (n – 1)r
a30 = 2 + (30 – 1)7
a30 = 2 + (29)7
a30 = 2 + 203
a30 = 205
Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:
S = n(a1 + an)
2S = 30(2 + 205)
2S = 30(207)
2S = 6210
2S = 3105
Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105.
Gabarito: letra B.
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Questão 2
Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000?
Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta saber o primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números ímpares no intervalo. Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o último número ímpar antes de 1000 é 999.
Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na sequência. Note apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para que esse cálculo dê certo, ignoraremos um deles.
Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.
Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos:
S = n(a1 + an)
2S = 495(11 + 999)
2S = 495(1010)
2S = 495(1010)
2S = 499950
2S = 249975
A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975.
Gabarito: letra C.
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Questão 3
Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 50º elemento?
Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso usando a fórmula do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula para a soma dos termos da PA, pois essa soma depende desses termos. Observe:
an = a1 + (n – 1)r
a50 = a1 + (50 – 1)5
a50 = a1 + (49)5
a50 = a1 + 245
Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a50 por a1 + 245 e S por 6625:
S = n(a1 + an)
2S = 50(a1 + a50)
26625 = 50(a1 + a1 + 245)
22·6625 = 50(2a1 + 245)
13250 = 100a1 + 12250
13250 – 12250 = 100a1
1000 = 100a1
a1 = 10
Conhecendo o valor de a1, podemos descobrir a50 voltando à fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n – 1)r
a50 = a1 + (50 – 1)5
a50 = a1 + (49)5
a50 = a1 + 245
a50 = 10 + 245
a50 = 255
Gabarito: letra D.
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Questão 4
Qual é a soma de todos os naturais que vão de 1 até 100?
Esse problema é o que deu origem à fórmula da soma dos termos de uma PA. Para calcular essa soma, já sabemos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e que são exatamente 100 termos. Portanto, podemos escrever:
S = n(a1 + an)
2S = 100(1 + 100)
2S = 100(101)
2S = 10100
2S = 5050
Gabarito: letra A.