Exercícios sobre a soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada por:

S = n(a₁ + a_n)
      2

Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo dessa PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₃₀ = 2 + (30 – 1)7

a₃₀ = 2 + (29)7

a₃₀ = 2 + 203

a₃₀ = 205

Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos:

S = n(a₁ + a_n)
      2

S = 30(2 + 205)
       2

S = 30(207)
      2

S = 6210
     2

S = 3105

Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105.

Gabarito: letra B.

Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta saber o primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números ímpares no intervalo. Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o último número ímpar antes de 1000 é 999.

Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na sequência. Note apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para que esse cálculo dê certo, ignoraremos um deles.

Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números ímpares.

Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos:

S = n(a₁ + a_n)
       2

S = 495(11 + 999)
      2

S = 495(1010)
      2

S = 495(1010)
      2

S = 499950
      2

S = 249975

A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975.

Gabarito: letra C.

Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso usando a fórmula do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula para a soma dos termos da PA, pois essa soma depende desses termos. Observe:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₅₀ = a₁ + (50 – 1)5

a₅₀ = a₁ + (49)5

a₅₀ = a₁ + 245

Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a₅₀ por a₁ + 245 e S por 6625:

S = n(a₁ + a_n)
     2

S = 50(a₁ + a₅₀)
      2

6625 = 50(a₁ + a₁ + 245)
         2

2·6625 = 50(2a₁ + 245)

13250 = 100a₁ + 12250

13250 – 12250 = 100a₁

1000 = 100a₁

a₁ = 10

Conhecendo o valor de a₁, podemos descobrir a₅₀ voltando à fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₅₀ = a₁ + (50 – 1)5

a₅₀ = a₁ + (49)5

a₅₀ = a₁ + 245

a₅₀ = 10 + 245

a₅₀ = 255

Gabarito: letra D.

Esse problema é o que deu origem à fórmula da soma dos termos de uma PA. Para calcular essa soma, já sabemos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e que são exatamente 100 termos. Portanto, podemos escrever:

S = n(a₁ + a_n)
     2

S = 100(1 + 100)
      2

S = 100(101)
      2

S = 10100
      2

S = 5050

Gabarito: letra A.