Exercícios sobre retas perpendiculares

Esta lista de exercícios é composta por questões sobre retas perpendiculares e te auxiliará nos seus estudos sobre as principais propriedades dessas retas.

Perguntas

Questão: 1

Duas retas são consideradas perpendiculares quando:

A) elas não possuem nenhum ponto em comum.

B) elas se interceptam formando um ângulo de 90°.

C) elas se interceptam possuindo dois pontos em comum.

D) elas pertencem ao mesmo plano.

Questão: 2

Considere uma reta cuja equação geral é r: 2x+3y4=0. A reta perpendicular a ela, representada por s, que passa pelos pontos (1, 1) possui equação geral igual a:

A) 3y – 2x + 1 = 0

B) x – y + 1 = 0

C) – 3y + 2x – 1 = 0

D) 2y – 3x + 1 = 0

E) 2y + 3x – 1 = 0

Questão: 3

Dadas as retas y1=2x+3 e y2=12x+8, podemos afirmar que:

A) elas são paralelas.

B) elas são perpendiculares.

C) elas são coincidentes.

D) elas são reversas.

Questão: 4

(Cespe) Considere a reta r: y = –3(x – 2) e o ponto P = (3, 4). Considere, ainda, s a reta que passa por P e que é perpendicular à reta r. Com base nessas informações, assinale a opção que indica o ponto no qual se interceptam as retas r e s.

A) (9/10, 33/10)

B) (9, 12/10)

C) (3/8, 39/8)

D) (–9, –12)

E) (9/8, 33/8)

Questão: 5

Sobre as retas perpendiculares, julgue as afirmativas a seguir:

I – Duas retas são ditas concorrentes quando elas são perpendiculares.

II – Quando as retas são perpendiculares, elas também são concorrentes.

III – Duas retas são paralelas quando elas formam um ângulo de 90° entre si.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está correta.

B) Somente a afirmativa II está correta.

C) Somente a afirmativa III está correta.

D) Todas as afirmativas são falsas.

Questão: 6

Analise as posições relativas entre as retas r e s e entre as retas t e p.

Posições relativas entre quatro retas

Podemos afirmar que elas são, respectivamente:

A) concorrentes, perpendiculares e coincidentes.

B) concorrentes, não perpendiculares e paralelas.

C) paralelas e concorrentes perpendiculares.

D) paralelas e coincidentes.

E) concorrentes, perpendiculares e paralelas.

Questão: 7

A bissetriz dos quadrantes ímpares foi interceptada por uma reta de equação y=mx+n no ponto 2, 2. Sabendo que, além desse ponto, a reta passa pelo ponto (3, 1), o valor do seu coeficiente linear é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Questão: 8

As retas r: 2x+4 e s: – 3x + 1 foram representadas em um mesmo plano cartesiano. Analisando a representação, podemos afirmar que:

A) r e s são duas retas são paralelas.

B) r e s são duas retas coincidentes.

C) r e s são retas concorrentes e perpendiculares.

D) r e s são retas concorrentes, mas não perpendiculares.

E) r e s são retas relativamente reversas.

Questão: 9

Duas retas r e s se encontram no ponto P. Considere que A pertence à reta r e B pertence à reta s e que foi traçada a bissetriz PC do ângulo APB. Sabendo que r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o ângulo suplementar do ângulo APC é igual a:

A) 45°

B) 60°

C) 75°

D) 120°

E) 135°

Questão: 10

Analise a imagem a seguir:

Retas r e s formando um ângulo de 108,41°

Sobre as retas r e s, podemos afirmar que:

I – As retas r e s são concorrentes.

II – As retas r e s são perpendiculares.

III – As retas r e s são paralelas.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é verdadeira.

B) Somente II é verdadeira.

C) Somente III é verdadeira.

E) Todas são verdadeiras.

Questão: 11

(FEI) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:

A) a = – 1

B) a = 1

C) a = – 4

D) a = 4

E) n.d.a.

Questão: 12

(Aeronáutica) As retas de equações y + x – 4 = 0 e 2y = 2x – 6 são, entre si,

A) paralelas.

B) coincidentes.

C) concorrentes e perpendiculares.

D) concorrentes e não perpendiculares.

Respostas

Questão: 1

Alternativa B

Duas retas são perpendiculares se o ângulo formado entre elas possui 90°.

Questão: 2

Alternativa D

Primeiramente, encontraremos o coeficiente angular da reta r:

2x+3y4=0 

3y= 2x+4

y=2x3+43

Então, temos que mr= 23.

Sabemos que mrms= 1:

23ms= 1

ms= 1(32)

ms=32

Sabemos também que a equação reduzida da reta s é:

y=32x+n

Se x = 1 e y = 1:

1=321+n

1=32+n

132=n

 12=n

A equação reduzida da reta é:

y=32x12

Multiplicando por 2:

2y=3x1 

Igualando a zero:

2y3x+1=0

Questão: 3

Alternativa B

Para analisar a posição relativa entre as retas, sabemos que os coeficientes angulares são m1 = 2 e m2=12.

Caso as retas fossem paralelas ou coincidentes, os coeficientes angulares seriam os mesmos, o que não é o caso. Sendo assim, essas retas se interceptam. Verificaremos se elas são perpendiculares:

m1m2=1

2(12)=1

1= 1 

Conclui-se, portanto, que as retas são perpendiculares.

Questão: 4

Alternativa A

A equação reduzida da reta r é:

y = – 3x + 6

Logo, sabemos que m1= 3.

Como s é perpendicular à reta r, calcularemos o coeficiente angular da reta:

m1m2= 1

 3m2= 1

m2= 1 3

m2=13

Como a reta passa pelo ponto P = (3, 4), temos que:

y = mx + n

y=13x+n

4=133+n

4=1+n

41=n

n=3

Então, a equação da reta s é y=13x+3.

Queremos o ponto em que as equações são iguais:

13x+3=3x+6

13x+3x=63

103x=3

10x=33

10x=9

x=910

 Quando x = 910, temos que:

y= 3x+6

y= 3910+6

y=2710+6

y=3310

Assim, o ponto em que as retas se encontram é:

(910, 3310)

Questão: 5

Alternativa B

I – Falsa

Duas retas são concorrentes quando elas possuem um único ponto em comum.

II – Verdadeira

Para que duas retas sejam perpendiculares, é necessário que elas formem um ângulo de 90°.

III – Falsa

Duas retas são ditas paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum.

Questão: 6

Alternativa E

As retas r e s são concorrentes por se encontrarem em um único ponto. Além disso, o ângulo formado entre elas é um ângulo reto, logo r e s são retas perpendiculares. As retas t e p são paralelas, pois elas não possuem nenhum ponto em comum. Assim, as posições relativas entre as retas são, respectivamente, concorrentes, perpendiculares e paralelas.

Questão: 7

Alternativa D

A reta é perpendicular à bissetriz, e sabemos que a bissetriz possui equação y = x. Logo, o seu coeficiente é igual a 1.

O produto entre os coeficientes de duas retas perpendiculares é sempre igual a – 1, então podemos concluir que:

1m= 1

m= 1 

Sendo m = – 1, temos que:

y= x + n

Substituindo no ponto (3, 1):

1= 3+n

n=1+3 

n=4  

Questão: 8

Alternativa D

Analisando a equação das retas, podemos afirmar que elas não são coincidentes nem paralelas, porque os coeficientes angulares são distintos. Logo, nos resta o fato de que essas retas são concorrentes, haja vista que os coeficientes angulares são distintos. Para verificar se essas retas são perpendiculares ou não, basta verificar se o produto entre os coeficientes angulares é  1:

m1m2= 1

2( 3)= 6

Note que o produto entre os coeficientes angulares é diferente de 1. Sendo assim, podemos afirmar que essas retas são concorrentes, mas não perpendiculares.

Questão: 9

Alternativa E

Se as retas são perpendiculares, então elas formam entre si um ângulo reto. Logo, o ângulo APB possui 90°. A bissetriz AC divide esse ângulo ao meio, formando o ângulo APC, de 45°.

Queremos o ângulo suplementar a um ângulo de 45°, que é o ângulo de 180° – 45° = 135°.

Questão: 10

Alternativa A

I – Verdadeira

Duas retas são concorrentes quando elas se encontram em um único ponto.

II – Falsa

As retas fazem um ângulo de 108°.

III – Falsa

As retas são concorrentes, logo elas não são paralelas.

Questão: 11

Alternativa D

Como as retas são perpendiculares, encontraremos o coeficiente angular da primeira:

y= 2x+3  

Multiplicando por – 1:

y=2x3

Agora, isolaremos o y na segunda equação:

ay= 2x+5

y= 2ax+5a

Para que as retas sejam perpendiculares, o produto entre os coeficientes angulares deve ser igual a – 1. O coeficiente angular da primeira é 2 e o da segunda é  2a. Logo, temos que:

2 2a= 1

 4a= 1

 4= 1a

 4 1=a

a=4 

Questão: 12

Alternativa C

De início, encontraremos a equação reduzida de cada uma delas e, consequentemente, o coeficiente angular:

y= x+4 

Então, a primeira equação possui m= 1.

Analisando a segunda equação:

y=22x62

y=x3 

Logo, na segunda equação, m=1.

Como os coeficientes angulares são diferentes, essas retas são concorrentes. Agora, verificaremos se são perpendiculares.

Calculando o produto entre os coeficientes angulares:

 11= 1

Isso mostra que essas retas são perpendiculares e concorrentes.


Fonte: Brasil Escola - https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-retas-perpendiculares.htm