Perguntas

Questão: 1

Sabendo que a matriz A é simétrica, determine o valor de x.

$A=\left[\begin{matrix}2&x\\8&7\\\end{matrix}\right]$

A) 2

B) 8

C) 7

D) -2

E) -7

 

Questão: 2

Determine o valor de x e y sabendo que a matriz M é simétrica.

$M=\left(\begin{matrix}3&x-2&9\\8&4&7\\9&y+2&5\\\end{matrix}\right)$

A) x = 8 e y = 7

B) x = 6 e y = 9

C) x = 10 e y = 9

D) x = 10 e y = 5

E) x = 5 e y = 7

Questão: 3

Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.

I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2.

II. Toda matriz identidade é simétrica.

III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica.

A) Apenas o item I é falso.

B) Todos os itens são verdadeiros.

C) Somente os itens I e II são verdadeiros.

D) Temos apenas um item verdadeiro.

E) Todos os itens são falsos.

Questão: 4

Considere que a matriz A é simétrica, de ordem 2x2, e obedece à lei de formação:

$a = \begin{cases} a_{ij}=sen\left(i\pi\right),\ se\ i=1\ \quad \\ a_{ij}=\cos{\left(i\pi\right)},\ se\ i\neq1\ e\ i=j & \quad \end{cases}$

Determine a matriz B que satisfaz a equação matricial A+B = 0: 

A) $\left(\begin{matrix}1&0\\1&0\\\end{matrix}\right)$

B) $\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

C) $\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$

D) $\left(\begin{matrix}0&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$

E) $\left(\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

Questão: 5

Determine o valor de a e b sabendo que a matriz A é simétrica.

$A=\left(\begin{matrix}6&a-b&9\\4&4&6\\9&a+b&9\\\end{matrix}\right)$

A) a = 4 e b = 7

B) a = 5 e b = 1

C) a = 1 e b = 6

D) a = 3 e b = 5

E) a = 5 e b = 7

Questão: 6

Sabendo que a matriz simétrica N de ordem 2x2 obedece à lei de formação $a = \begin{cases} a_{12}=3\ \quad \\ a_{ij}=2,\ se\ i=j & \quad \end{cases}$, podemos afirmar que N é:

A) $\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\\\end{matrix}\right)$

B) $\left(\begin{matrix}2&2\\3&3\\\end{matrix}\right)$

C) $\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\\\end{matrix}\right)$

D) $\left(\begin{matrix}3&3\\2&2\\\end{matrix}\right)$

E) $\left(\begin{matrix}3&2\\3&2\\\end{matrix}\right)$

Questão: 7

Sendo $N=\left(\begin{matrix}2&3\\-1&2\\\end{matrix}\right)$, $M=\left(\begin{matrix}7&8\\8&2\\\end{matrix}\right)$ e $P=\left(\begin{matrix}5&-1\\7&5\\\end{matrix}\right)$ matrizes de ordem 2x2, marque a alternativa verdadeira:

A) N é uma matriz simétrica.

B) M é uma matriz transposta de N.

C) M é matriz simétrica.

D) P é matriz simétrica.

E) N é matriz nula.

Questão: 8

$A=\left(\begin{matrix}7&y\\x&y\\\end{matrix}\right)$ e $B=\left(\begin{matrix}7&x\\y&2\\\end{matrix}\right)$ são matrizes de ordem 2x2. Sabendo que a matriz B é igual à matriz A e supondo que a matriz A seja matriz simétrica, determine os valores de x e y:

A) x = 7 e y = 2

B) x = 7 e y = 7

C) x = 2 e y = 2

D) x = 2 e y = 7

E) x = 1 e y = 6

Questão: 9

$A=\left(\begin{matrix}6&8&9\\x&4&y\\9&6&9\\\end{matrix}\right)$ é uma matriz simétrica. Determine a soma de todos os elementos da matriz oposta de A.

A) 65

B) -65

C) -51

D) 51

E) 34

Questão: 10

Sejam X e Y matrizes 2x2 satisfazendo a expressão X∙Y+Y∙X=0. Sabendo que X é matriz simétrica e Y é igual à transposta da matriz X, podemos afirmar que:

A) O determinante de X é 1.

B) O determinante de Y é 1.

C) X é matriz identidade.

D) Y é matriz identidade.

E) X e Y são matrizes nulas.

Questão: 11

Sobre a definição de matriz simétrica, classifique os itens abaixo em verdadeiros ou falsos.

I. Toda matriz nula é simétrica.

II. Toda matriz identidade é simétrica.

III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade.

IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica.

V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada.

A) Dois itens verdadeiros.

B) Um item verdadeiro.

C) Quatro itens verdadeiros.

D) Três itens verdadeiros.

E) Todos os itens são verdadeiros.

Questão: 12

Observe as matrizes a seguir e julgue os itens.

$M=\left(\begin{matrix}4&7&9\\8&4&6\\9&0&9\\\end{matrix}\right)$

$B=\left(\begin{matrix}6&8&9\\8&4&5\\9&5&9\\\end{matrix}\right)$

$C=\left(\begin{matrix}6&-1&9\\8&4&-1\\9&8&9\\\end{matrix}\right)$

I. A matriz M é simétrica.

II. A matriz B é simétrica.

III. A matriz C é simétrica.

IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica.

A) Dois itens verdadeiros.

B) Um item verdadeiro.

C) Quatro itens verdadeiros.

D) Três itens verdadeiros.

E) Todos os itens são verdadeiros.

Respostas

Questão: 1

Alternativa B.

Observe que o enunciado afirma que a matriz é simétrica, logo os elementos a₁₂ e a₂₁ devem ser iguais. Na figura abaixo isso é claro, e podemos concluir que x = 8.

$A=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{x}\\\color{red}{8}&7\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2&\color{red}{a_{12}}\\\color{red}{a_{12}}&7\\\end{matrix}\right]$

Questão: 2

Alternativa D.

Como o enunciado nos traz que a matriz é uma matriz simétrica, primeiro analisaremos 4 termos dessa matriz em específico:

Analisando a matriz, temos que $\color{red}{\begin{cases} a_{21}=8 \quad \\ a_{12}=x-2& \quad \end{cases}}$ e $\color{blue}{\begin{cases} a_{32}=y+2 \quad \\ a_{23}=7& \quad \end{cases}}$

Sabemos que M é matriz simétrica, então  a₁₂ = a₂₁ e a₃₂ = a₂₃. Sendo assim, temos que:

$\color{red}{x-2=8}$

$\color{red}{x=8+2}$

$\color{red}{x=10}$

Calculando o valor de y, temos que:

$\color{blue}{y+2=7}$

$\color{blue}{y=7-2}$

$\color{blue}{y=5}$

Então temos que x = 10 e y = 5.

Questão: 3

Alternativa D.

I. Toda matriz simétrica é de ordem 2x2. (falso)

Existem matrizes simétricas de qualquer ordem.

II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)

Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade para ter $a_{ij}\neq a_{ji}$.

III. Toda matriz nula é uma matriz simétrica. (falso)

Existem matrizes nulas que não são quadradas, condição necessária para serem simétricas.

Questão: 4

Alternativa D.

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.

$A = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$

$a_{11}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0$

$a_{12}=sen\left(1\cdot\pi\right)=0$

a₂₁ = 0 (da definição de matriz simétrica, pois a₁₂ = a ₂₁)

$a_{22}=\cos{\left(2\cdot\pi\right)}=1$

$A = \left(\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

Pelo sistema de equação matricial, temos que B = -A:

$B = \left(\begin{matrix}0&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$

Questão: 5

Alternativa B.

Analisaremos os termos em destaque:

Temos que: $\color{red}{\begin{cases} a_{21}=4 \quad \\ a_{12}=a-b& \quad \end{cases}}$e $\color{blue}{\begin{cases} a_{32}=a+b \quad \\ a_{23}=6& \quad \end{cases}}$

Ao afirmar que A é matriz simétrica, concluímos que a12=a21 e a32=a23. Sendo assim, temos que:

$\begin{cases} \color{red}{a-b=4} \quad \\ \color{blue}{a+b=6} & \quad \end{cases}$

Efetuando a soma das duas linhas:

$2a=\ 10$

$a=\frac{10}{2}$

$a=5$

Logo a=5.

Substituindo esse valor na segunda linha do sistema:

$a+b=6$

$5+b=6$

$b=1$

Questão: 6

Alternativa C.

Vamos montar a matriz genérica com base nas informações do enunciado.

$N = \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$

$a_{11}=2$

$a_{22}=2$

$a_{12}=3$

Como a matriz N é simétrica, temos que $a_{12}=a_{21}=3$.

$N = \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\\\end{matrix}\right)$

Questão: 7

Alternativa C.

A alternativa A é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 3 deveriam ser iguais.

A alternativa B é falsa. As matrizes M e N possuem elementos distintos. Numa matriz transposta o que muda é a ordem dos elementos e não seus valores.

A alternativa C é verdadeira. Os elementos $a_{12}=a_{21}=8$.

A alternativa D é falsa, pois caso a matriz N fosse simétrica, os elementos -1 e 7 deveriam ser iguais.

A alternativa E é falsa, pois a matriz possui elementos diferentes de zero.

Questão: 8

Alternativa C.

Pela definição de matriz simétrica, temos que $A=\left(\begin{matrix}7&\color{red}{y}\\\color{blue}{x}&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&\color{blue}{x}\\y&\color{red}{y}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&{x}\\y&\color{red}{2}\\\end{matrix}\right)$. Assim, concluímos que x = y = 2.

Questão: 9

Alternativa B.

Pela definição de matriz simétrica, temos que:

$A=\left(\begin{matrix}6&\color{red}{8}&9\\\color{red}{x}&4&y\\9&6&9\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&x&9\\8&4&\color{red}{6}\\9&\color{red}{y}&9\\\end{matrix}\right)$

A partir disso, concluímos que x = 8 e y = 6. Somando os termos dessa matriz e multiplicando por -1, obtemos $-\left(6+8+9+8+4+6+9+6+9\right)=\color{red}{-65}.$.

Questão: 10

Alternativa E.

Do fato de a matriz X ser simétrica temos X = Y, logo temos que $X^2+X^2=2X^2=0$.

Escrevendo esse produto de forma genérica:

$2\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a&b\\b&c\\\end{matrix}\right)=2\left(\begin{matrix}a^2+b^2&ab+bc\\ab+b^2&b^2+c^2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)$

Do resultado acima concluímos que a = 0, e b = 0, e c = 0.

Logo, as matrizes X e Y são matrizes nulas.

Questão: 11

Alternativa A.

I. Toda matriz nula é simétrica. (falso)

Existem matrizes nulas que não são quadradas, logo não são simétricas.

II. Toda matriz identidade é simétrica. (verdadeiro)

Como os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero, não há possibilidade de haver $a_{ij}\neq a_{ji}$.

III. Toda matriz simétrica é uma matriz identidade. (falso)

Existem matrizes simétricas com elementos da diagonal principal diferentes de 1, logo não são simétricas.

IV. Toda matriz que é igual a sua transporta é uma matriz simétrica. (verdadeiro)

Essa é a definição de matriz simétrica.

V. Existe matriz simétrica que não é uma matriz quadrada. (falso)

É uma consequência que a matriz simétrica seja quadrada.

Questão: 12

Alternativa B.

I. A matriz M é simétrica. (falso)

M não é uma matriz simétrica, pois os números 7 e 8 são diferentes, além de 6 e 0 serem diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.

II. A matriz B é simétrica. (verdadeiro)

Os elementos fora da diagonal principal são vistos como espelhados por ela.

III. A matriz C é simétrica. (falso)

C não é uma matriz simétrica, pois os números -1 e 8 são diferentes. Esses são os elementos que deveriam ser iguais.

IV. Nenhuma das matrizes acima é simétrica. (falso)

O item II ser verdadeiro torna esse item falso.