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Exercícios sobre Divisão de Números Complexos

Exercícios de Matemática

Para resolver estes exercícios sobre divisão de números complexos, é necessário aplicar a ideia de conjugado de um número complexo e a propriedade distributiva da multiplicação. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

Determine o valor do quociente dos números complexos z1 e z2, sabendo que z1 = 2 – 3i e z2 = – 1 + 2i.

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questão 2

Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:

z = (5 + 2i) . (2 – i)
   
3 + i

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questão 3

(Cefet – PR) A expressão , na qual i é a unidade imaginária, é igual a:

a)  1 - i  -     2i   
     1 + i    1 + 3i

b) 3 + i
       2

c) 1 + 2i

d) – 1 – 2i

e) 2 + 4i
        5

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questão 4

(UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                 1 - i

a) 1 + 3 i
    2    2

b) - 1 + 3 i
       2    2

c) - 1 + 2 i
       2    3

d) - 1 - 2 i
       2   3

e)  1 - 3 i
     2    2

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respostas
Questão 1

Representando esse quociente como fração, temos z1 como numerador e z2 como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

z1 =   2 – 3i 
z2    – 1 + 2i

z1 =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
  z2      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   

z1 = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
z2         (– 1)² – (2i)²      

z1 = – 2 + 3i – 4i – 6
z2          1 – (– 4)       

z1 = – 8 – i
z2         5    

Portanto, o quociente entre os complexos z1 e z2 é - 8 - i.
                                                                                      5

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Questão 2

Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:

z = 10 + 4i – 5i – 2i²
     
3 + i

z = 10 – i – 2.(– 1)
    
3 + i

z = 10  i + 2
   
3 + i

z = 12 – i
      
3 + i

Para realizar a divisão, vamos multiplicar as duas partes da fração pelo conjugado do denominador:

z = (12 – i).(3 – i)
       
(3 + i).(3 – i)

z = 36 12i – 3i + i²
      
9 – i²

z = 36 – 15i + (– 1)
     
9 – (– 1)

z = 36 – 15i – 1
    9 + 1

z = 35  15i
     
10

z =  3i
     
2

Portanto, na forma complexa, temos z = 7/2 3i/2.

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Questão 3

Vamos separar a expressão, logo: A =  e B =  . No fim da resolução, faremos A – B. Agora calculamos a divisão de números complexos que ocorre em A, multiplicando a fração pelo conjugado do denominador:

A = 1 – i . 1 – i
       
1 + i   1 – i

A =        (1 – i)²     
       (1 + i).(1 – i)

A = 1 – 2.i – 1
      
1 – (– 1)

A = – 2.i
      
2

A = – i

Agora que já encontramos o valor de A, vamos utilizar o mesmo processo para determinar o valor de B:

B =      2i    .    1 – 3i  
       1 + 3i       1 – 3i

B =        2i.(1 – 3i)      
       (1 + 3i).(1 – 3i)

B =    2i + 6  
       
1 – (– 9)

B = 6 + 2i
      
10

B = 3 + i
      
5

Agora já podemos resolver a expressão:

A – B = – i – 3 + i
                    
5

A – B = – 5i – (3 + i)
             5

A – B = – 5i – 3 – i
           
5

A – B = – 3 – 6i
            
5

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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Questão 4

Para calcular a divisão de números complexos que ocorre em z, multiplicamos o numerador e o denominador de z pelo conjugado do denominador, isto é:

z = 1 + 2i . 1 + i
       
1 – i    1 + i

z = (1 + 2i).(1 + i)
      
(1 – i).(1 + i)

z = 1 + 2i + i + 2.i²
        
1 – i²

z = 1 + 3i – 2
      
1 – (– 1)

z = – 1 + 3i
      
2

z = – 1 + 3 i
       
2    2

Logo, a alternativa correta é a letra b.

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