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Exercícios sobre Função Exponencial

Exercícios de Matemática

Exercícios sobre função exponencial são resolvidos pela aplicação de conceitos de potenciação, função e inequação. Publicado por: Amanda Gonçalves Ribeiro
questão 1

(Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:

a) ¼

b) 1

c) 8

d) 4

e) ½

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questão 2

(Uepg – PR) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, é correto afirmar:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

(08) f [g(0)] = f(1)

(16) f(– 1) + g(1) = 5
                               
2

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questão 3

Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente.

g(x) = (3k + 16)x

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questão 4

Considerando que f(x) = 49x, determine o valor de f(1,5).

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respostas
Questão 1

Como queremos que x satisfaça a igualdade f(x) = g(x), vamos substituir cada uma das funções na igualdade:

f(x) = g(x)

2 x² – 4 = 4 x² – 2x

Utilizando as propriedades de potenciação, podemos reescrever o segundo membro da equação:

2 x² – 4 = (22)x² – 2x

2 x² – 4 = 22(x² – 2x)

2 x² – 4 = 22x² – 4x

Fazendo uso do princípio básico de resolução de equação exponencial, se as bases são iguais, podemos estabelecer uma nova igualdade apenas com os expoentes. Teremos então:

x² – 4 = 2x² – 4x

x² – 4x + 4 = 0

Utilizando a Fórmula de Bhaskara, faremos:

= b² – 4.a.c

= (– 4)² – 4.1.4

= 16 – 16

= 0

x = – b ± √∆
      2.a

x = – (– 4) ± √0
     
2.1

x = 4 ± 0
​     
2

x = 2

O exercício pede que encontremos o valor de 2x, como x = 2, temos que 2x = 22 = 4. Portanto, a alternativa correta é a letra d.

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Questão 2

Para resolver questões desse tipo, nós devemos verificar se cada afirmativa é verdadeira. Feito isso, nós somamos os números das afirmativas corretas. Vamos então analisar cada uma das afirmativas propostas:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.

Precisamos saber se existe algum valor de f(x) que seja igual ao de g(x). Devemos então ter algum valor de x para que a igualdade a seguir seja verdadeira:

f (x) = g (x)


x = – x

O único valor em que temos x = – x é x = 0. Sendo assim:


f(0) = 1

g(0) = 1

As duas funções interceptam-se quando x = 0. Portanto, a afirmativa é falsa.

(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

Para saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente, devemos analisar a base da potência. Se ela for maior do que 1, então a função será crescente; se for algum valor entre 0 e 1, a função será decrescente. A base da função f(x) é 4/5, valor que equivale ao decimal 0,8, o que nos garante que a função f(x) é decrescente. Já a base da função g(x) é 5/4, que corresponde ao decimal 1,25, através disso afirmamos que a função g(x) é crescente. Essas análises contrariam a afirmativa, portanto, ela é falsa.

(04) g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Substituindo cada valor nas funções, temos:

g(– 2) . f(– 1) = f(1)

Essa afirmativa é verdadeira.

(08) f [g(0)] = f(1)

Nesse caso, estamos lidando com uma função composta. Primeiramente, precisamos verificar o valor de g(0), temos então:


g(0) = 1

Sendo assim:

f [g(0)] = f [1] = f(1)

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

(16) f(– 1) + g(1) = 5
                            
2

Vamos substituir os valores de x nessas funções para calcular o valor da soma


f(– 1) + g(1) = 5 + 5
                     
4   4 
f(– 1) + g(1) = 10 = 5
                      4    2 

Essa afirmativa também é verdadeira.

Somando os números correspondentes às afirmativas verdadeiras, temos: 04 + 08 + 16 = 28.

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Questão 3

Para que a função seja crescente, é necessário que o valor da base seja maior do que 1. Faremos então:

3k + 16 > 1
3k > 1 – 16
3k > – 15
3k > – 15
k > – 15
       3
k> – 5

Então a função g(x) = (3k + 16)x é crescente para k > – 5.

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Questão 4

Para facilitar os cálculos na resolução desse exercício, vamos escrever o 1,5 como fração, isto é:

1,5 =  15  =  
         10      2

Vamos então calcular f(1,5):

f(1,5) = 491.5
f(1,5) = 493/2

Por conveniência, vamos aplicar as propriedades de potenciação e escrever 49 como 72. Temos então:

f(1,5) = √493
f(1,5) = √(72)3
f(1,5) = √76
f(1,5) = √(73)2
f(1,5) = 73
f(1,5) = 343

Portanto, para x = 1,5, a função vale 343.

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