Exercícios sobre área do cilindro
Um cilindro possui raio medindo 5 cm e altura igual a 8 cm, então sua área total é de:
(Use π = 3.)
A) 390 cm²
B) 350 cm²
C) 310 cm²
D) 280 cm²
E) 250 cm²
Alternativa A
Calcularemos a área total do cilindro:
\(A_T=2\pi r\left(r+h\right)\)
\(A_T=2\cdot3\cdot5\left(5+8\right)\)
\(A_T=30\cdot13\)
\(A_T=390\ cm^2\)
Um recipiente possui formato de cilindro com área igual a 720 π cm². Se o raio desse cilindro é de 12 cm, então sua altura é de:
A) 16 cm
B) 18 cm
C) 20 cm
D) 22 cm
E) 24 cm
Alternativa B
Se a área desse recipiente no formato de cilindro é 720 π cm², temos que:
\(A_T=2\pi r\left(r+h\right)\)
\(720\pi=2\cdot\pi\cdot12\left(12+h\right)\)
\(720\pi=24\pi\left(12+h\right)\)
\(\frac{720\pi}{24\pi}=12+h\)
\(30=12+h\)
\(30-12=h\)
\(18=h\)
\(h=18\ cm\)
Uma caixa d’água terá a sua área lateral pintada, e para realizar a pintura é necessário calcular essa área. Seu diâmetro é de 1,20 metro e sua altura é de 1,40 metro, então a área lateral dessa caixa é de:
A) 1,50 π m²
B) 1,56 π m²
C) 1,68 π m²
D) 1,72 π m²
E) 1,83 π m²
Alternativa C
A área lateral de um cilindro é dada pela fórmula:
\(A_l=2\pi rh\)
Se o diâmetro é de 1,2 metro, logo o raio é a metade, ou seja, r = 0,6 metro. Além disso, sabemos que a altura h = 1,40 metro:
\(A_l=2\cdot\pi\cdot0,6\cdot1,40\)
\(A_l=1,68\pi{\ m}^2\)
Um porta-joias possui formato cilíndrico, com área total igual a 244,92 cm². Se a altura desse porta-joias é de 10 cm, o raio dessa embalagem é de:
(Use π = 3,14.)
A) 2 cm
B) 3 cm
C) 4 cm
D) 5 cm
E) 6 cm
Alternativa B
Sabemos que:
\(2\pi r\left(r+h\right)=244,92\)
\(2\cdot3,14r\left(r+10\right)=244,92\)
\(6,28r\left(r+10\right)=244,92\)
\(r\left(r+10\right)=\frac{244,92}{6,28}\)
\(r\left(r+10\right)=39\)
\(r^2+10r=39\)
\(r^2+10r-39=0\)
Encontramos uma equação do 2º grau. Calculando as raízes dessa equação, temos que: a = 1, b = 10 e c = -39:
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta={10}^2-4\cdot1\cdot\left(-39\right)\)
\(\Delta=100+156\)
\(\Delta=256\)
Agora, utilizando a fórmula de Bháskara:
\(r=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
\(r=\frac{-10\pm\sqrt{256}}{2\cdot1}\)
\(r=\frac{-10\pm16}{2}\)
\(r_1=\frac{-10+16}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Note que \(x_2\) é negativo, portanto, isso não faz sentindo, já que não existe raio negativo. Então, temos que r = 3 metros.
Qual é a medida do raio de um cilindro que possui área lateral igual a 104 π cm² e a altura igual a 8 cm?
A) 5,0 cm
B) 5,5 cm
C) 6,0 cm
D) 6,5 cm
E) 7,0 cm
Alternativa D
Sabemos que h = 8 e que \(A_l=104\pi\), então temos que:
\(A_l=2\pi rh\)
\(104\pi=2\cdot\pi\cdot r\cdot8\ \)
\(104\pi=16\pi r\)
\(\frac{104\pi}{16\pi}=r\)
\(6,5=r\)
Então, temos que r = 6,5 cm.
Para melhor conservação dos galões de óleo de uma empresa, no formato cilíndrico, o dono decidiu passar tinta na base superior do galão e na área lateral. Sabendo que a altura de cada galão é de 1 metro e que o diâmetro é de 80 cm, então a área que será pintada mede, em centímetros quadrados: (Use π = 3.)
A) 3,5 mil
B) 3,9 mil
C) 13 mil
D) 35 mil
E) 39 mil
Alternativa E
Se o diâmetro é de 1 metro, então o raio é de 0,5 metro ou 50 centímetros. Calculando a área total, temos que:
\(A_T=2\pi r\left(r+h\right)\)
\(A_T=2\cdot3\cdot50\left(50+80\right)\)
\(A_T=6\cdot50\cdot130\)
\(A_T=39000\ cm^2\)
A área da base de um cilindro é de 36π cm². Se a altura desse cilindro é de 5 cm, sua área total, em cm², é de:
A) 168 π
B) 165 π
C) 156 π
D) 150 π
E) 147 π
Alternativa A
Se a área da base de um cilindro é \(\pi r^2\), temos que:
\(36\pi=\pi r^2\)
\(36=r^2\)
\(r^2=36\)
\(r=\sqrt{36}\)
\(r=6\)
Sabendo que o raio é 6, podemos calcular a área total do cilindro:
\(A_T=2\pi r\left(r+h\right)\)
\(A_T=2\pi\cdot6\left(6+8\right)\)
\(A_T=12\pi\cdot14\)
\(A_T=168\pi\)
A medida, em m², da área da superfície total de um cilindro circular reto tal que a medida da altura é de 3 metros e a medida do raio é de 2 metros é:
A) 15 π
B) 20 π
C) 25 π
D) 30 π
E) 35 π
Alternativa B
Calculando a área total:
\(A_T=2\pi r\left(r+h\right)\)
\(A_T=2\cdot\pi\cdot2\left(2+3\right)\)
\(A_T=4\pi\cdot5\)
\(A_T=20\pi\)
(Idecan) Um oficial de manutenção de equipamentos deseja pintar as áreas externas das bases inferiores de dois cilindros, A e B, cujas circunferências são 8 π cm e 10 π cm, respectivamente. Logo, ele necessitará de tinta suficiente para pintar uma área total igual a, em cm²:
A) 36 π
B) 41 π
C) 56 π
D) 82 π
Alternativa B
Para calcular a área total de cada um dos cilindros, primeiramente calcularemos os seus raios, utilizando a informação que temos sobre o comprimento da suas circunferências:
\(C_A=8\pi\)
\(2\pi r_A=8\pi\)
\(r_A=\frac{8\pi}{2\pi}\)
\(r_A=4\)
Então, o raio do cilindro A é 4 cm. Agora, o raio do cilindro B:
\(C_B=10\pi\)
\(2\pi r_B=10\pi\)
\(r_B=\frac{10\pi}{2\pi}\)
\(r_B=5\)
O raio do cilindro B é de 5 cm.
Calculando a soma da área total de cada um dos cilindros:
\(A_P=A_{BA}+A_{BB}\)
\(A_P=\pi r_A^2+\pi r_B^2\)
\(A_P=\pi4^2+\pi5^2\)
\(A_P=16\pi+25\pi\)
\(A_P=41\pi\)
(Cesgranrio — Petrobras) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192 π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.
A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm², igual a
A) 8 π
B) 12 π
C) 16 π
D) 24 π
E) 32 π
Alternativa C
Queremos calcular a área lateral de um cilindro com 2 cm de altura, cujo raio é igual ao raio do cilindro maior. Como não sabemos o raio, utilizaremos as informações dadas para calculá-lo:
\(V=\ 192\pi\)
\(\pi r^2h=192\pi\)
\(r^2\cdot12=192\)
\(r^2=\frac{192}{12}\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Agora, calcularemos a área lateral:
\(A_l=2\pi rh\)
\(A_l=2\pi\cdot4\cdot2\)
\(A_l=16\pi\)
Temos que a = 1, b = 12 e c = - 96:
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta={12}^2-4\cdot1\cdot\left(-96\right)\)
\(\Delta=144+384\)
\(\Delta=528\)
Agora, calculando Bháskara:
\(r=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
\(r=\frac{-10\pm\sqrt{256}}{2\cdot\ 1}\)
\(r=\frac{-10\pm16}{2}\)
\(r_1=\frac{-10+16}{2}=\frac{6}{2}=3\)
(Uece) Um cilindro circular reto de altura 7 cm tem volume igual a 28 π cm³. A área total desse cilindro, em cm², é de:
A) 30 π
B) 32 π
C) 34 π
D) 36 π
Alternativa D
Para calcular a área total desse cilindro, é necessário encontrar o valor do raio. Para isso, utilizaremos a fórmula do volume. O volume do cilindro é o produto entre a área da base e a altura:
\(V=A_b\cdot h\)
\(28\pi=A_b\cdot7\)
\(\frac{28\pi}{7}=A_b\ \)
\(A_b=4\pi\)
A área da base do cilindro é \(\pi r^2\):
\(\pi r^2=4\pi\)
\(r^2=4\)
\(r=\sqrt4\)
\(r=2\)
Como já conhecemos a área da base, falta calcular a área lateral do cilindro:
\(A_l=2\pi rh\)
\(A_l=2\pi\cdot2\cdot7\)
\(A_l=28\pi\)
A área total será:
\(A_T=2A_b+Al\)
\(A_T=2\cdot4\pi+28\pi\)
\(A_T=8\pi+28\pi\)
\(A_T=36\pi\ cm^2\)
Em um condomínio, o reservatório de água tem forma de cilindro cuja base é um círculo de raio de 8 metros e 5 metros de altura. Para melhor conservação desse reservatório, a assembleia decidiu pintar a parte superior do reservatório e a sua área lateral. O pintor contratado cobrou um valor de R$ 7,00 para o metro quadrado pintado. Ao término do serviço, o valor devido ao pintor foi de: (Use π = 3.)
A) R$ 2328,00
B) R$ 2550,00
C) R$ 2870,00
D) R$ 2904,00
E) R$ 3024,00
Alternativa E
Primeiramente, calcularemos a área a ser pintada, que é a área lateral do cilindro mais a área de uma base:
\(A_p=Al+A_b\)
\(A_p=2\pi rh+\pi r^2\)
\(A_p=2\cdot3\cdot5\cdot8+3\cdot8^2\)
\(A_p=240+3\cdot64\)
\(A_p=240+192\)
\(A_p=432\ m²\)
Sabendo que a área a ser pintada tem 432 m², agora multiplicando pelo valor cobrado pelo m², temos que:
\(V=432\cdot7=3024\)
O valor devido foi de R$ 3024,00.
