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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre arranjo simples

Exercícios sobre arranjo simples

Esta lista de exercícios avaliará seus conhecimentos sobre o arranjo simples, um dos tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória. Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira

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Questão 1

Qual é a quantidade de arranjos simples que podemos fazer utilizando 3 letras do conjunto {A, B, C, D, E}?

A) 10

B) 12

C) 15

D) 30

E) 60

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Resposta

Alternativa E

Calculando a quantidade de arranjos, temos que:

$A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$

$A_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!}$

$A_{5,3}=\frac{5!}{2!}$

$A_{5,3}=\frac{5⋅4⋅3⋅2!}{2!}$

$A_{5,3}=5⋅4⋅3$

$A_{5,3}=60$

Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.

Questão 2

Na busca de incentivar os estudantes da escola a participarem do evento de Halloween, um colégio decidiu sortear 3 prêmios para 10 estudantes que estiverem com as melhores fantasias, sendo os prêmios: uma bicicleta, um smartphone e um tablet. O número de maneiras distintas que podemos ter o resultado desse sorteio é:

A) 120

B) 250

C) 360

D) 720

E) 1480

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Resposta

Alternativa D

Queremos calcular um arranjo de 10 elementos, tomados de 3 em 3:

$A_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!}$

$A_{10,3}=\frac{10!}{7!}$

$A_{10,3}=\frac{10⋅9⋅8⋅7!}{7!}$

$A_{10,3}=10⋅9⋅8$

$A_{10,3}=720$

Questão 3

Durante as eleições de diretor e vice-diretor escolar de uma escola estadual, ficou determinado pelo edital que o diretor seria o candidato mais votado e o vice-diretor o segundo candidato mais votado. Se, em determinada escola, 4 profissionais se candidataram para a vaga de gestor, o número de resultados distintos que podemos ter para diretor e vice-diretor é:

A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

E) 16

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Resposta

Alternativa C

Queremos calcular o arranjo de 4 elementos, tomados de 2 em 2:

$A_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!}$

$A_{4,2}=\frac{4!}{2!}$

$A_{4,2}=\frac{4⋅3⋅2!}{2!}$

$A_{4,2}=12$

Questão 4

Seis amigos decidiram realizar uma disputa de xadrez para saber quem era o melhor enxadrista da turma. Sabendo que na disputa teremos primeiro, segundo e terceiro lugares, quantos são os pódios possíveis?

A) 120

B) 80

C) 45

D) 42

E) 30

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Resposta

Alternativa A

Os pódios possíveis são calculados pelo arranjo de 6 elementos, tomados de 3 em 3:

$A_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!}$

$A_{6,3}=\frac{(6⋅5⋅4⋅3!)}{3!}$

$A_{6,3}=6⋅5⋅4=120$

Questão 5

A senha de acesso de uma plataforma é construída como uma sequência de 6 números distintos. Quantas são as possíveis senhas para esse site?

A) 75.600

B) 151.200

C) 226.800

D) 300.000

E) 325.500

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Resposta

Alternativa B

Sabemos que existem 10 algarismos possíveis, assim, as senhas possíveis são os arranjos de 10 algarismos, tomados de 6 em 6.

$A_{10,6}=\frac{10!}{(10-6)!}$

$A_{10,6}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4!}{4!}$

$A_{10,6}=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5$

$A_{10,6}=151.200$

Questão 6

O Senado federal é composto por 81 senadores, com mandatos que possuem duração de 8 anos. Dentro do Congresso será montada uma comissão, com o presidente da comissão, o relator da comissão, o secretário e o suplente. O número de comissões distintas que podem ser formadas, escolhendo 4 dentre os 81 senadores, pode ser calculado por:

A) $C_{81,4}$

B) $A_{81,4}$

C) 81!

D) $81^4$

E) $4^{81}$

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Resposta

Alternativa B

Como a ordem é importante e estamos escolhendo parte dos elementos do conjunto para cada agrupamento, então, nesse caso, os agrupamentos podem ser calculados por meio de um arranjo de 81 elementos, tomados de 4 em 4.

Questão 7

Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar utilizando somente os algarismos ímpares?

A) 24

B) 120

C) 540

D) 720

E) 1500

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Resposta

Alternativa B

Os algarismos que são números ímpares são: 1, 3, 5, 7 e 9, logo, queremos calcular o arranjo de 5 elementos, tomados de 4 em 4.

$A_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!}$

$A_{5,4}=\frac{5!}{1!}$

$A_{5,4}=5!$

$A_{5,4}=120$

Questão 8

Em uma sala de consultório, há 6 cadeiras. De quantas maneiras distintas 2 pessoas podem se sentar nesse consultório?

A) 9

B) 12

C) 15

D) 25

E) 30

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Resposta

Alternativa E

Queremos calcular os arranjos de 6 elementos, tomados de 2 em 2:

$A_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!}$

$A_{6,2}=\frac{6!}{4!}$

$A_{6,2}=\frac{6⋅5⋅4!}{4!}$

$A_{6,2}=30$

Questão 9

Durante o vestibular de uma universidade, o estudante deve escolher a primeira e a segunda opções de curso. Se nessa universidade há 12 opções de curso, então o número de maneiras distintas que um candidato pode escolher a primeira e a segunda opções é:

A) 33

B) 68

C) 132

D) 188

E) 244

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Resposta

Alternativa C

Calcularemos o arranjo de 12 elementos, tomados de 2 em 2.

$A_{12,2}=\frac{12!}{(12-2)!}$

$A_{12,2}=\frac{12!}{10!}$

$A_{12,2}=\frac{12⋅11⋅10!}{10!}$

$A_{12,2}=12⋅11$

$A_{12,2}=132$

Questão 10

Para realizar as obras em 4 escolas do estado, foi aberta uma licitação, de tal forma que cada empreiteira pudesse reformar somente uma escola. Durante a licitação, 7 empreiteiras se candidataram para reformar as escolas. De quantos modos distintos o estado pode determinar que essas empreiteiras reformem essas 4 escolas?

A) 120

B) 210

C) 350

D) 840

E) 1630

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Resposta

Alternativa D

Calcularemos os arranjos que podemos formar com 7 elementos, tomados de 4 em 4.

$A_{7,4}=\frac{7!}{(7-4)!}$

$A_{7,4}=\frac{7!}{3!}$

$A_{7,4}=\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3!}{3!}$

$A_{7,4}=7⋅6⋅5⋅4$

$A_{7,4}=840$

Questão 11

Durante o estudo antropológico, um antropólogo percebeu que o povo de Wakanda utiliza como alfabeto os símbolos {@, !, #, $, % }. Considerando que cada palavra desse alfabeto tem 2 ou mais símbolos, todos distintos, a quantidade de palavras que podem ser escritas utilizando o alfabeto Wakanda é:

A) 120

B) 180

C) 200

D) 240

E) 320

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Resposta

Alternativa E

Podemos formar palavras usando 2, 3, 4 ou 5 símbolos, logo, o número de palavras possíveis é:

$N=A_{5,2}+A_{5,3}+A_{5,4}+A_{5,5}$

$N=\frac{5!}{(5-2)!}+\frac{5!}{(5-3)!}+\frac{5!}{(5-4)!}+\frac{5!}{(5-5)!}$

$N=\frac{5!}{3!}+\frac{5!}{2!}+\frac{5!}{1!}+\frac{5!}{0!}$

$N=20+60+120+120$

$N=320$

Questão 12

Analise os agrupamentos formados com as letras {A, B, C, D} a seguir:

(A, B), (B, A), (A, C), (C, A), (A, D), (D, A), (B, C), (C, B), (B, D), (D, B), (C, D), (D, C)

Podemos afirmar que eles são:

A) todas as combinações simples dos 4 elementos, tomados de 2 em 2.

B) todas as permutações possíveis de 4 elementos.

C) todos os arranjos simples possíveis de 4 elementos, tomados de 2 em 2.

D) todos os subconjuntos do conjunto {A, B, C, D} com 2 elementos.

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Resposta

Alternativa C

Podemos perceber que esses agrupamentos são todos os arranjos que podemos formar com as 4 letras, tomadas de 2 em 2, pois a ordem é importante e os agrupamentos possuem parte dos elementos do conjunto.