Exercícios sobre arranjo simples
Qual é a quantidade de arranjos simples que podemos fazer utilizando 3 letras do conjunto {A, B, C, D, E}?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 30
E) 60
Alternativa E
Calculando a quantidade de arranjos, temos que:
\(A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}\)
\(A_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!}\)
\(A_{5,3}=\frac{5!}{2!}\)
\(A_{5,3}=\frac{5⋅4⋅3⋅2!}{2!}\)
\(A_{5,3}=5⋅4⋅3\)
\(A_{5,3}=60\)
Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.
Na busca de incentivar os estudantes da escola a participarem do evento de Halloween, um colégio decidiu sortear 3 prêmios para 10 estudantes que estiverem com as melhores fantasias, sendo os prêmios: uma bicicleta, um smartphone e um tablet. O número de maneiras distintas que podemos ter o resultado desse sorteio é:
A) 120
B) 250
C) 360
D) 720
E) 1480
Alternativa D
Queremos calcular um arranjo de 10 elementos, tomados de 3 em 3:
\(A_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!}\)
\(A_{10,3}=\frac{10!}{7!}\)
\(A_{10,3}=\frac{10⋅9⋅8⋅7!}{7!}\)
\(A_{10,3}=10⋅9⋅8\)
\(A_{10,3}=720\)
Durante as eleições de diretor e vice-diretor escolar de uma escola estadual, ficou determinado pelo edital que o diretor seria o candidato mais votado e o vice-diretor o segundo candidato mais votado. Se, em determinada escola, 4 profissionais se candidataram para a vaga de gestor, o número de resultados distintos que podemos ter para diretor e vice-diretor é:
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
Alternativa C
Queremos calcular o arranjo de 4 elementos, tomados de 2 em 2:
\(A_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!}\)
\(A_{4,2}=\frac{4!}{2!}\)
\(A_{4,2}=\frac{4⋅3⋅2!}{2!}\)
\(A_{4,2}=12\)
Seis amigos decidiram realizar uma disputa de xadrez para saber quem era o melhor enxadrista da turma. Sabendo que na disputa teremos primeiro, segundo e terceiro lugares, quantos são os pódios possíveis?
A) 120
B) 80
C) 45
D) 42
E) 30
Alternativa A
Os pódios possíveis são calculados pelo arranjo de 6 elementos, tomados de 3 em 3:
\(A_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!}\)
\(A_{6,3}=\frac{(6⋅5⋅4⋅3!)}{3!}\)
\(A_{6,3}=6⋅5⋅4=120\)
A senha de acesso de uma plataforma é construída como uma sequência de 6 números distintos. Quantas são as possíveis senhas para esse site?
A) 75.600
B) 151.200
C) 226.800
D) 300.000
E) 325.500
Alternativa B
Sabemos que existem 10 algarismos possíveis, assim, as senhas possíveis são os arranjos de 10 algarismos, tomados de 6 em 6.
\(A_{10,6}=\frac{10!}{(10-6)!}\)
\(A_{10,6}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4!}{4!}\)
\(A_{10,6}=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5\)
\(A_{10,6}=151.200\)
O Senado federal é composto por 81 senadores, com mandatos que possuem duração de 8 anos. Dentro do Congresso será montada uma comissão, com o presidente da comissão, o relator da comissão, o secretário e o suplente. O número de comissões distintas que podem ser formadas, escolhendo 4 dentre os 81 senadores, pode ser calculado por:
A) \(C_{81,4}\)
B) \(A_{81,4}\)
C) 81!
D) \(81^4\)
E) \(4^{81}\)
Alternativa B
Como a ordem é importante e estamos escolhendo parte dos elementos do conjunto para cada agrupamento, então, nesse caso, os agrupamentos podem ser calculados por meio de um arranjo de 81 elementos, tomados de 4 em 4.
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar utilizando somente os algarismos ímpares?
A) 24
B) 120
C) 540
D) 720
E) 1500
Alternativa B
Os algarismos que são números ímpares são: 1, 3, 5, 7 e 9, logo, queremos calcular o arranjo de 5 elementos, tomados de 4 em 4.
\(A_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!}\)
\(A_{5,4}=\frac{5!}{1!}\)
\(A_{5,4}=5!\)
\(A_{5,4}=120\)
Em uma sala de consultório, há 6 cadeiras. De quantas maneiras distintas 2 pessoas podem se sentar nesse consultório?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 25
E) 30
Alternativa E
Queremos calcular os arranjos de 6 elementos, tomados de 2 em 2:
\(A_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!}\)
\(A_{6,2}=\frac{6!}{4!}\)
\(A_{6,2}=\frac{6⋅5⋅4!}{4!}\)
\(A_{6,2}=30\)
Durante o vestibular de uma universidade, o estudante deve escolher a primeira e a segunda opções de curso. Se nessa universidade há 12 opções de curso, então o número de maneiras distintas que um candidato pode escolher a primeira e a segunda opções é:
A) 33
B) 68
C) 132
D) 188
E) 244
Alternativa C
Calcularemos o arranjo de 12 elementos, tomados de 2 em 2.
\(A_{12,2}=\frac{12!}{(12-2)!}\)
\(A_{12,2}=\frac{12!}{10!}\)
\(A_{12,2}=\frac{12⋅11⋅10!}{10!}\)
\(A_{12,2}=12⋅11\)
\(A_{12,2}=132\)
Para realizar as obras em 4 escolas do estado, foi aberta uma licitação, de tal forma que cada empreiteira pudesse reformar somente uma escola. Durante a licitação, 7 empreiteiras se candidataram para reformar as escolas. De quantos modos distintos o estado pode determinar que essas empreiteiras reformem essas 4 escolas?
A) 120
B) 210
C) 350
D) 840
E) 1630
Alternativa D
Calcularemos os arranjos que podemos formar com 7 elementos, tomados de 4 em 4.
\(A_{7,4}=\frac{7!}{(7-4)!}\)
\(A_{7,4}=\frac{7!}{3!}\)
\(A_{7,4}=\frac{7⋅6⋅5⋅4⋅3!}{3!}\)
\(A_{7,4}=7⋅6⋅5⋅4\)
\(A_{7,4}=840\)
Durante o estudo antropológico, um antropólogo percebeu que o povo de Wakanda utiliza como alfabeto os símbolos {@, !, #, $, % }. Considerando que cada palavra desse alfabeto tem 2 ou mais símbolos, todos distintos, a quantidade de palavras que podem ser escritas utilizando o alfabeto Wakanda é:
A) 120
B) 180
C) 200
D) 240
E) 320
Alternativa E
Podemos formar palavras usando 2, 3, 4 ou 5 símbolos, logo, o número de palavras possíveis é:
\(N=A_{5,2}+A_{5,3}+A_{5,4}+A_{5,5}\)
\(N=\frac{5!}{(5-2)!}+\frac{5!}{(5-3)!}+\frac{5!}{(5-4)!}+\frac{5!}{(5-5)!}\)
\(N=\frac{5!}{3!}+\frac{5!}{2!}+\frac{5!}{1!}+\frac{5!}{0!}\)
\(N=20+60+120+120\)
\(N=320\)
Analise os agrupamentos formados com as letras {A, B, C, D} a seguir:
(A, B), (B, A), (A, C), (C, A), (A, D), (D, A), (B, C), (C, B), (B, D), (D, B), (C, D), (D, C)
Podemos afirmar que eles são:
A) todas as combinações simples dos 4 elementos, tomados de 2 em 2.
B) todas as permutações possíveis de 4 elementos.
C) todos os arranjos simples possíveis de 4 elementos, tomados de 2 em 2.
D) todos os subconjuntos do conjunto {A, B, C, D} com 2 elementos.
Alternativa C
Podemos perceber que esses agrupamentos são todos os arranjos que podemos formar com as 4 letras, tomadas de 2 em 2, pois a ordem é importante e os agrupamentos possuem parte dos elementos do conjunto.
