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Exercícios sobre as propriedades envolvendo números complexos

Exercícios de Matemática

Estes exercícios sobre as propriedades envolvendo números complexos têm o objetivo de testar seus conhecimentos nesse assunto com questões no nível de Enem e vestibulares. Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
questão 1

A respeito das propriedades dos números complexos, assinale a alternativa correta:

a) O produto entre um número complexo e seu conjugado tem como resultado um número complexo na forma a + bi com b ≠ 0.

b) O produto entre um número complexo e seu conjugado pode ser representado sem o uso da parte imaginária, já que o resultado dessa multiplicação sempre será um número real.

c) O produto entre os conjugados de dois números complexos distintos nunca poderá ter como resultado um número real.

d) O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual ao quadrado desse mesmo número complexo.

e) N.D.A.

questão 2

Dado o número complexo A = 16 + 4i, qual o produto entre esse número e seu conjugado?

a) 256

b) 272

c) 300

d) 40

e) 20

questão 3

Um produto envolve quatro fatores: os números complexos A = 25 + i, B = 16 – i e seus conjugados. Qual o resultado desse produto?

a) 150882

b) 160882

c) 170882

d) 180882

e) 190882

questão 4

Qual é o resultado do módulo do produto entre os complexos A = 12 + 13i e B = 15 – 10i?

a) 5√40

b) 5√30

c) 3√41

d) 4√41

e) 5√41

respostas
Questão 1

a) Incorreta!
O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real com a parte imaginária, que sempre resulta em números reais. Assim, o resultado sempre será um número real.

b) Correta!

c) Incorreta!
Contraexemplo: A = 2 + i e B = 2 – i. Conjugados: A’ = 2 – i e B’ = 2 + i. Produto entre os conjugados:

(2 – i)(2 + i)

= 4 + 2i – 2i + i2

= 4 – 1

= 3

d) Incorreta!
O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte imaginária e da parte real.

e) Incorreta!

Gabarito: Alternativa B.

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Questão 2

O conjugado de A é 16 – 4i. O produto entre eles pode ser obtido por uma das propriedades que afirma: “O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária”. Portanto, representando o conjugado de A por A’, teremos:

AA’ = 162 + 42

AA’ = 256 + 16

AA’ = 272

Gabarito: Alternativa B.

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Questão 3

Antes de realizar as multiplicações, lembre-se da propriedade que diz que o produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária. Então, o produto solicitado no exercício será:

(25 + i)(25 – i)(16 – i)(16 + i)

= [(25 + i)(25 – i)]·[(16 – i)(16 + i)]

= [252 + 12]·[162 + 12]

= [625 + 1]·[256 + 1]

= [626]·[257]

= 160882

Gabarito: Alternativa B.

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Questão 4

Escrevendo o módulo do produto, temos:

|(12 + 13i)(15 – 10i)|

Lembre-se novamente da propriedade que diz que o módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto de seus módulos. Ou seja:

|4 + 3i||5 – 4i|

= √(42 + 32)·√(52 + 42)

= √(16 + 9)·√(25 + 16)

= √(25)·√(41)

= 5√41

Gabarito: Alternativa E.

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