Exercícios sobre as propriedades envolvendo números complexos
A respeito das propriedades dos números complexos, assinale a alternativa correta:
a) O produto entre um número complexo e seu conjugado tem como resultado um número complexo na forma a + bi com b ≠ 0.
b) O produto entre um número complexo e seu conjugado pode ser representado sem o uso da parte imaginária, já que o resultado dessa multiplicação sempre será um número real.
c) O produto entre os conjugados de dois números complexos distintos nunca poderá ter como resultado um número real.
d) O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual ao quadrado desse mesmo número complexo.
e) N.D.A.
a) Incorreta!
O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real com a parte imaginária, que sempre resulta em números reais. Assim, o resultado sempre será um número real.
b) Correta!
c) Incorreta!
Contraexemplo: A = 2 + i e B = 2 – i. Conjugados: A’ = 2 – i e B’ = 2 + i. Produto entre os conjugados:
(2 – i)(2 + i)
= 4 + 2i – 2i + i2
= 4 – 1
= 3
d) Incorreta!
O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte imaginária e da parte real.
e) Incorreta!
Gabarito: Alternativa B.
Dado o número complexo A = 16 + 4i, qual o produto entre esse número e seu conjugado?
a) 256
b) 272
c) 300
d) 40
e) 20
O conjugado de A é 16 – 4i. O produto entre eles pode ser obtido por uma das propriedades que afirma: “O produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária”. Portanto, representando o conjugado de A por A’, teremos:
AA’ = 162 + 42
AA’ = 256 + 16
AA’ = 272
Gabarito: Alternativa B.
Um produto envolve quatro fatores: os números complexos A = 25 + i, B = 16 – i e seus conjugados. Qual o resultado desse produto?
a) 150882
b) 160882
c) 170882
d) 180882
e) 190882
Antes de realizar as multiplicações, lembre-se da propriedade que diz que o produto entre um número complexo e seu conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária. Então, o produto solicitado no exercício será:
(25 + i)(25 – i)(16 – i)(16 + i)
= [(25 + i)(25 – i)]·[(16 – i)(16 + i)]
= [252 + 12]·[162 + 12]
= [625 + 1]·[256 + 1]
= [626]·[257]
= 160882
Gabarito: Alternativa B.
Qual é o resultado do módulo do produto entre os complexos A = 12 + 13i e B = 15 – 10i?
a) 5√40
b) 5√30
c) 3√41
d) 4√41
e) 5√41
Escrevendo o módulo do produto, temos:
|(12 + 13i)(15 – 10i)|
Lembre-se novamente da propriedade que diz que o módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto de seus módulos. Ou seja:
|4 + 3i||5 – 4i|
= √(42 + 32)·√(52 + 42)
= √(16 + 9)·√(25 + 16)
= √(25)·√(41)
= 5√41
Gabarito: Alternativa E.
