Exercícios sobre combinação com repetição
Quantas combinações com repetição que podemos fazer com 4 elementos tomados de 6 em 6?
A) 92
B) 84
C) 58
D) 36
E) 24
Alternativa B
\(CR_{4,6}=\frac{(4+6-1)!}{6!(4-1)!}\)
\(CR_{4,6}=\frac{9}{6!3!}\)
\(CR_{4,6}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{6!3!}\)
\(CR_{4,6}=\frac{9\cdot8\cdot7}{6}\)
\(CR_{4,6}=84\)
Em uma lanchonete, há as seguintes opções de salgados:
-
coxinha
-
empada
-
esfirra
-
americano de presunto e queijo
-
americano de salsicha
Se um cliente resolve levar 3 salgados, de quantas maneiras distintas ele pode fazer esse pedido?
A) 55
B) 50
C) 45
D) 40
E) 35
Alternativa E
Queremos calcular as combinações com repetição de 5 elementos tomados de 3 em 3:
\(CR_{5,3}=\frac{(5+3-1)!}{3!(5-1)!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7!}{3!4!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7⋅6⋅5⋅4!}{3!4!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7⋅6⋅5}6\)
\(CR_{5,3}=7⋅5=35\)
Rogério foi até uma loja de bebidas para comprar refrigerante. Na loja, ele percebeu que havia 5 sabores diferentes de refrigerantes de 2 litros. Sabendo que ele deseja comprar 8 litros de refrigerante, de quantas maneiras diferentes ele pode realizar essa compra?
A) 18
B) 36
C) 70
D) 720
E) 1680
Alternativa C
Calculando a combinação com repetição, sabemos que ele comprará 4 refrigerantes escolhendo entre os 5 sabores possíveis:
\(CR_{5,4}=\frac{(5+4-1)!}{4!(5-1)!}\)
\(CR_{5,4}=\frac{8!}{4!4!}\)
\(CR_{5,4}=\frac{8⋅7⋅6⋅5⋅4!}{4!4!}\)
\(CR_{5,4}=\frac{8⋅7⋅6⋅5}{4⋅3⋅2⋅1}\)
\(CR_{5,4}=\frac{1680}{24}\)
\(CR_{5,4}=70\)
Analise os agrupamentos realizados com os símbolos @, $ e % a seguir:
{@, $, %}, {@, @, $} {@, @, %}, {@, @, @}, {@, $, $}, {$, $, %}, {$, $, $}, {@, %, %}, {$, %, %} e {%, %, %}
Podemos afirmar que os agrupamentos formados são:
A) Todos os arranjos simples possíveis com os símbolos @, $ e %.
B) Todos os arranjos completos possíveis com os símbolos @, $ e %.
C) Todas as permutações simples possíveis com os símbolos @, $ e %.
D) Todas as combinações simples possíveis com os símbolos @, $ e %.
E) Todas as combinações completas possíveis com os símbolos @, $ e %.
Alternativa E
Note que a ordem dos agrupamentos não é relevante, logo, temos uma combinação; perceba também que essas combinações admitem repetição, logo, temos uma combinação completa de 3 elementos tomados de 3 em 3.
Depois de uma longa semana de viagem, o marido da Priscilla retornará para casa, e por isso ela decidiu fazer um momento especial com queijos e vinhos para receber o marido. Ela foi até o supermercado e decidiu comprar 3 queijos entre os 4 queijos possíveis. Na seção de vinhos, ela decidiu pegar 2 garrafas, escolhendo entre os 4 melhores vinhos do mercado. Nessas condições, o número de maneiras distintas que Priscilla pode escolher os queijos e os vinhos é igual a:
A) 20
B) 30
C) 100
D) 200
E) 250
Alternativa D
Primeiro calcularemos de quantas formas distintas Priscilla poderá escolher os 3 queijos:
\(CR_{4,3}=\frac{(4+3-1)!}{3!(4-1)!}\)
\(CR_{4,2}=\frac{6!}{3!3!}\)
\(CR_{4,2}=\frac{720}{36}\)
\(CR_{4,2}=20\)
Agora calcularemos de quantas formas distintas ela poderá escolher os vinhos:
\(CR_{4,2}=\frac{(4+2-1)!}{2!(4-1)!}\)
\(CR_{4,2}=\frac{5!}{2!3!}\)
\(CR_{4,2}=\frac{120}{6⋅2}\)
\(CR_{4,2}=\frac{120}{12}=10\)
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de combinações possíveis é:
\(20 ⋅10 = 200\)
Stella começará os seus negócios nas redes sociais. Para melhorar o alcance da sua loja, ela decidiu sortear, entre os 100 primeiros seguidores, 3 vestidos iguais. Sabendo que 1 mesmo seguidor pode levar os 3 prêmios, a alternativa que indica a quantidade de modos distintos de resultados para esse sorteio é:
A) \(100^3\)
B) \(100!\)
C) \(\frac{100!}{3!97!}\)
D) \(\frac{100!}{97!}\)
E) \(\frac{102!}{3!99!}\)
Alternativa E
\(CR_{100,3}=\frac{(100+3-1)!}{3!(100-1)!}\)
\(CR_{100,3}=\frac{102!}{3!99!}\)
Um pipoqueiro vende pipocas nos seguintes sabores:
-
leite ninho;
-
chocolate;
-
caramelo;
-
sal;
-
bacon.
Se Geovanna pretende comprar 6 pipocas para presentear os seus sobrinhos, de quantas maneiras distintas ela pode fazer o pedido ao pipoqueiro?
A) 120
B) 210
C) 630
D) 2520
E) 5040
Alternativa B
\(CR_{5,6}=\frac{(5+6-1)!}{6!(5-1)!}\)
\(CR_{5,6}=\frac{10!}{6!4!}\)
\(CR_{5,6}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6!}{6!⋅24}\)
\(CR_{5,6}=\frac{10⋅9⋅8⋅7}{24}\)
\(CR_{5,6}=\frac{5040}{24}\)
\(CR_{5,6}=210\)
O número de combinações completas que podemos fazer com todas as letras do alfabeto, agrupando-as de 3 em 3, é:
A) 20.320
B) 19.656
C) 10.324
D) 6552
E) 3276
Alternativa E
Sabemos que o alfabeto é composto por 26 letras, logo, temos que:
\(CR_{26,3}=\frac{(26+3-1)!}{3!(26-1)!}\)
\(CR_{26,3}=\frac{28!}{3!25!}\)
\(CR_{26,3}=\frac{28⋅27⋅26⋅25!}{6⋅25!}\)
\(CR_{26,3}=\frac{28⋅27⋅26}6\)
\(CR_{26,3}=3276\)
Em uma rede de fast-food, a nova promoção diz que o cliente pode escolher 3 entre 5 opções de sanduíches pagando apenas R$ 29,90. Nessas condições, o número de maneiras distintas que um cliente pode fazer o seu pedido é:
A) 15
B) 17
C) 24
D) 35
E) 70
Alternativa D
\(CR_{5,3}=\frac{(5+3-1)!}{3!(5-1)!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7!}{3!4!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7⋅6⋅5⋅4!}{3!4!}\)
\(CR_{5,3}=\frac{7⋅6⋅5}{3⋅2⋅1}\)
\(CR_{5,3}=7⋅5\)
\(CR_{5,3}=35\)
Se R$ 800 forem distribuídos para até 3 pessoas, de forma que cada pessoa receba esse valor em notas de R$ 100, então o número de maneiras distintas que essa distribuição pode ser feita é:
A) 30
B) 120
C) 330
D) 820
E) 1320
Alternativa B
Sabemos que há 8 notas distintas, e queremos escolher o dono de cada uma dessas notas. Nesse caso, a ordem da distribuição não importa, o que importa é a quantidade que cada pessoa receberá:
\(CR_{8,3}=\frac{(8+3-1)!}{3!(8-1)!}\)
\(CR_{8,3}=\frac{10!}{3!7!}\)
\(CR_{8,3}=\frac{10⋅9⋅8⋅7!}{6⋅7!}\)
\(CR_{8,3}=\frac{10⋅9⋅8}6=120\)
A combinação com repetição de 4 elementos escolhidos de 5 em 5 pode ser descrita pela combinação simples:
A) \(C_{8,4}\)
B) \(C_{8,5}\)
C) \(C_{9,4}\)
D) \(C_{9,5}\)
E) \(C_{5,4}\)
Alternativa B
Sabemos que:
\(CR_{n,k}=C_{n+k-1,k}\)
Então temos que:
\(CR_{4,5}=C_{4+5-1,5}\)
\(CR_{4,5}=C_{8,5}\)
Ao chegar à pizzaria, Kárita foi informada pelo atendente que aquele era dia de promoção e que, na compra de uma pizza grande, o cliente poderia escolher outra pizza grande de brinde. Nessa promoção estavam inclusos 6 sabores de pizza. De quantas maneiras distintas Kárita pode escolher as suas 2 pizzas?
A) 21
B) 28
C) 42
D) 54
E) 60
Alternativa A
Calculando as combinações com repetição de 6 elementos tomados de 2 em 2, temos que:
\(CR_{6,2}=\frac{(6+2-1)!}{2!(6-1)!}\)
\(CR_{6,2}=\frac{7!}{2!5!}\)
\(CR_{6,2}=\frac{7⋅6⋅5!}{2!5!}\)
\(CR_{6,2}=\frac{7⋅6}{2!}\)
\(CR_{6,2}=7⋅3=21\)
