Exercícios sobre combinação simples
Esta lista de exercícios testará seus conhecimentos sobre combinação simples, um dos agrupamentos estudados na análise combinatória.
Publicado por: Raul Rodrigues de OliveiraQuestões
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Questão 1
O número de combinações possíveis de 20 elementos tomados de 2 em 2 é igual a:
Alternativa C
Calculando a combinação, temos que:
\(C_{20,2}=\frac{20!}{2!(20-2)!}\)
\(C_{20,2}=\frac{20!}{2!18!}\)
\(C_{20,2}=\frac{20\cdot19\cdot18!}{2\cdot1\cdot18!}\)
\(C_{20,2}=\frac{20\cdot19}{2}\)
\(C_{20,2}=10\cdot19\)
\(C_{20,2}=190\)
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Questão 2
Durante os experimentos sobre genética, Mendel precisou escolher 3 mudas diferentes de ervilha para serem cobaias do mesmo experimento. Sabendo que ele tinha disponível 10 mudas naquele dia, então o número de maneiras distintas que ele poderia escolher as cobaias é igual a:
Alternativa B
Calculando a combinação, temos que:
\(C_{10,3}=\frac{10!}{3!\left(10-3\right)!}\)
\(C_{10,3}=\frac{10!}{3!7!}\)
\(C_{10,3}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{3!7!}\)
\(C_{10,3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}\)
\(C_{10,3}=120\)
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Questão 3
Durante o campeonato intercolegial, o Colégio Brasil Escola dispunha de 12 atletas, sendo que 2 deles eram goleiros. Sabendo que os demais jogadores jogam em qualquer posição, e que o time é composto por 5 jogadores de linha e 1 goleiro, de quantas maneiras distintas o técnico pode montar o time que disputará a final?
Alternativa E
Como há 2 goleiros, então restam 10 jogadores de linha, logo, queremos calcular todas as combinações possíveis de 10 elementos tomados de 5 em 5.
\(C_{10,5}=\frac{10!}{5!\left(10-5\right)!}\)
\(C_{10,5}=\frac{10!}{5!5!}\)
\(C_{10,5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!5!}\)
\(C_{10,5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\)
\(C_{10,5}=\frac{30240}{120}\)
\(C_{10,5}=252\)
Como há 2 possibilidades de goleiro, multiplicaremos a quantidade de times de linha possíveis por 2.
\(252\cdot2=504\ \)
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Questão 4
No Dia das Crianças, a escola do Heitor decidiu realizar o sorteio de 2 caixas de chocolate entre os 15 estudantes da turma. Cada um deles recebeu um número de 1 até 15, e foram retirados 2 números da urna. O número de duplas possíveis para ganhar esse prêmio é igual a:
Alternativa A
Calculando a combinação de 15 elementos tomados de 2 em 2, temos que:
\(C_{15,2}=\frac{15!}{2!\left(15-2\right)!}\)
\(C_{15,2}=\frac{15!}{2!13!}\)
\(C_{15,2}=\frac{15\cdot14\cdot13!}{2\cdot1\cdot13!}\)
\(C_{15,2}=\frac{15\cdot14}{2}\)
\(C_{15,2}=15\cdot7\)
\(C_{15,2}=105\)
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Questão 5
Em uma sala de aula de 3ª série do ensino médio, decidiu-se montar a comissão de formatura composta por 4 estudantes da turma. Sabendo que nessa turma tem 2 alunas, que se chamam Natália e Lara, e que, incluindo as 2, a turma tem 20 estudantes, o número de comissões possíveis em que as referidas alunas estarão presentes é igual a:
Alternativa D
Se há 20 estudantes, incluindo Natália e Lara, então escolheremos 3 estudantes entre os 18 restantes, já que 2 lugares da comissão estão ocupados por elas. Calculando as combinações, temos que:
\(C_{18,3}=\frac{18!}{3!\left(18-3\right)!}\)
\(C_{18,3}=\frac{18!}{3!15!}\)
\(C_{18,3}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15!}{3!15!}\)
\(C_{18,3}=\frac{18\cdot17\cdot16}{3\cdot2\cdot1}\)
\(C_{18,3}=816\)
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Questão 6
Para aumentar os seus rendimentos, Laiza decidiu vender macarrão na feira. Ela oferece 3 opções de macarrão, além de 15 opções de acompanhamentos, como bacon, queijo, azeitona, calabresa, diferentes molhos, entre outros. Na porção de macarrão, o cliente deve escolher o tipo de massa que ele deseja e até 4 acompanhamentos. Para melhorar o seu marketing, Laiza fez uma placa dizendo aos seus clientes que a sua loja possui mais de 5000 opções de pedidos. Analisando essa placa, podemos afirmar que:
Alternativa E
Primeiro calcularemos os pedidos possíveis. Sabemos que o cliente escolherá até 4 dos 15 acompanhamentos possíveis, logo, calcularemos quantos opções temos com 4 ingredientes, 3 ingredientes, 2 ingredientes e 1 ingrediente:
\(C_{15,4}=\frac{15!}{4!11!}=1365\)
\(C_{15,3}=\frac{15!}{3!12!}=455\)
\(C_{15,2}=\frac{15!}{2!13!}=105\)
\(C_{15,1}=\frac{15!}{1!14!}=15\)
Somando, temos que:
\(1365 + 455 + 105 + 15 = 1940\)
Sabemos que há 3 tipos de macarrão, logo, para cada tipo de macarrão, há 1904 combinações possíveis de acompanhamento:
\(1940\cdot3=5820\ \)
Por fim, o cliente pode pedir também somente o macarrão, sem acompanhamento nenhum, logo, podemos acrescentar 3 opções.
\(5820+3=5823\)
Então há 5823 pedidos diferentes que um cliente pode fazer.
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Questão 7
Trinta e dois cantores se inscreveram em um torneiro de música amador. Na primeira etapa do torneiro, foi sorteado os 4 primeiros cantores, que comporão o grupo 1. Depois disso, foram sorteados do grupo 1 os 2 primeiros cantores, que farão a abertura da competição.
A quantidade total de escolhas possíveis para o grupo 1 e a quantidade total de escolhas dos 2 cantores que farão a abertura da competição pode ser calculada, respectivamente, por:
Alternativa E
Note que, na primeira escolha e na segunda escolha, a ordem não é importante. Quando temos agrupamentos em que a ordem não é relevante, então os agrupamentos são combinações.
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Questão 8
Durante as aulas de Geografia, a professora Kárita decidiu sortear 4 estudantes para passarem um dia no clube com tudo pago. Se nessa turma há 20 alunos, e todos eles possuem a mesma chance de serem sorteados, então o número de resultados possíveis para esse sorteio pode ser calculado por:
Alternativa D
Analisando a situação, podemos perceber que os agrupamentos do sorteio não possuem ordem, pois o agrupamento formado por 4 estudantes em específico será o mesmo, independentemente da ordem em que eles forem sorteados. Quando a ordem não importa, então o agrupamento é uma combinação, sendo assim, calcularemos utilizando C20,4 — combinação de 20 elementos tomados de 4 em 4.
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Questão 9
(Enem) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém não poderão ser ambos canhotos.
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
Alternativa A
Calcularemos todas as duplas possíveis e depois vamos subtrair todas as duplas em que ambos são canhotos.
As duplas possíveis são uma combinação de 10 elementos tomados de 2 em 2, e as duplas em que ambos são canhotos são uma combinação de 4 elementos tomados de 2 em 2, logo, temos que:
\(C_{10,2}-C_{4,2}=\frac{10!}{2!8!}-\frac{4!}{2!2!}\)
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Questão 10
(Enem 2019) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia.
Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
Alternativa C
Primeiro calcularemos a quantidade de duplas possíveis, a primeira dupla é uma combinação de 8 tomados de 2 em 2, a segunda, de 6 tomados de 2 em 2, e assim sucessivamente. É necessário dividir o resultado por 4, já que a ordem em que a dupla sair não faz diferença no torneio.
\(C_{8,2}\cdot C_{6,2}\cdot C_{4,2}\cdot C_{2,2}\ ∶\ 4!\)
Calculando as combinações, temos que:
\(C_{8,2}\cdot C_{6,2}\cdot C_{4,2}\cdot C_{2,2}\ ∶\ 4!\ =\ 105\)
Agora, é necessário calcular todas as combinações em que há uma dupla de canhotos.
\(C_{6,2}\cdot C_{4,2}\cdot C_{2,2}\ ∶\ 3!\ =\ 15\)
Calculando a subtração:
\(105\ -\ 15\ =\ 90\ \)
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Questão 11
(Enem 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão:
Alternativa A
Há duas combinações para serem calculadas, uma calculará o número de maneiras distintas que o tecido pode ser escolhido, uma combinação de 6 elementos tomados de 2 em 2; já a outra é a combinação de 15 elementos tomados de 5 em 5, que nos dá o número de maneiras distintas que as pedras podem ser escolhidas. Dessa forma, temos que:
\(C_{6,4}\cdot C_{15,5}=\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{15!}{10!5!}\)
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Questão 12
(Enem 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por:
Alternativa E
Queremos 4 vagões vermelhos: \(C_{12}^4\). Após escolher os vagões vermelhos, queremos 3 vagões azuis: \(C_8^3\). Dos 5 restantes, escolheremos 3 para serem verdes \(C_5^3\). Por fim, os últimos 2 serão amarelos: \(C_2^2\). Pelo princípio multiplicativo, temos que:
\(C_{12}^4\times C_8^3\times C_5^3\times C_2^2\)