Exercícios sobre a demonstração da fórmula de Bháskara
Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 + 8x + 7. Qual é o valor de x1·x2?
a) 7
b) 17
c) – 7
d) – 14
e) – 8
Para determinar as raízes da equação dada, podemos usar a fórmula de Bháskara. Para tanto, observe que a = 1, b = 8 e c = 7. Nessas condições, o discriminante será:
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = 82 – 4·1·7
Δ = 64 – 28
Δ = 36
O próximo passo será usar a fórmula de Bháskara:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – 8 ± √36
2·1
x = – 8 ± 6
2
x1 = – 8 – 6 = – 14 = – 7
2 2
x2 = – 8 + 6 = – 2 = – 1
2 2
O produto x1·x2 será:
x1·x2 = (– 7)(– 1) = 7
Alternativa A
Um objeto foi jogado para o alto e, logo em seguida, caiu alguns metros à frente. Supondo que esse objeto descreveu a trajetória guiada pela função f(x) = – x2 + 8x – 7, a quantos metros de distância do local onde seu movimento se iniciou esse objeto caiu?
a) 1 m
b) 3 m
c) 6 m
d) 7 m
e) 8 m
Considerando que o solo é o eixo x de um plano cartesiano imaginário, basta calcular as raízes da função descrita pelo objeto e calcular a distância entre elas, pois a primeira raiz é o local onde o movimento desse objeto se iniciou e a segunda é o lugar onde ele terminou.
Para tanto, faremos: f(x) = 0 e resolveremos a equação do segundo grau resultante disso.
f(x) = – x2 + 8x – 7
0 = – x2 + 8x – 7
Observe que a = – 1, b = 8 e c = – 7.
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = 82 – 4·(– 1)·(– 7)
Δ = 64 – 28
Δ = 36
Usando a fórmula de Bháskara, teremos:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – 8 ± √36
2·(– 1)
x = – 8 ± 6
– 2
x1 = – 8 – 6 = – 14 = 7
– 2 – 2
x2 = – 8 + 6 = – 2 = 1
– 2 – 2
O objeto saiu da posição 1 m e parou na posição 7 m, portanto, podemos dizer que o objeto caiu a 6 metros de distância do local onde seu movimento se iniciou.
Alternativa C
Qual é a maior das raízes da equação do segundo grau – x2 – 12x – 35?
a) 5
b) 7
c) 12
d) – 7
e) – 5
Identificando os coeficientes da equação (a = – 1, b = – 12 e c = – 35) e usando a fórmula do discriminante, teremos:
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 12)2 – 4·(– 1)·(– 35)
Δ = 144 – 140
Δ = 4
Usando a fórmula de Bháskara, teremos:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – (– 12) ± √4
2·(– 1)
x = 12 ± 2
– 2
x1 = 12 – 2 = 10 = – 5
– 2 – 2
x2 = 12 + 2 = 14 = – 7
– 2 – 2
Observe que – 5 > – 7
Alternativa E
Um polígono possui 20 diagonais. Qual é o número de lados desse polígono?
a) 5 lados
b) 6 lados
c) 7 lados
d) 8 lados
e) 9 lados
A fórmula usada para determinar o número de diagonais do polígono é:
d = n(n – 3)
2
Substituindo o número de diagonais d e fazendo os cálculos possíveis, teremos:
20 = n2 – 3n
2
2·20 = n2 – 3n
40 = n2 – 3n
0 = n2 – 3n – 40
Resolvendo essa equação do segundo grau, encontraremos o número de lados do polígono. A saber, os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 3 e c = – 40. O discriminante dessa equação é:
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 40)
Δ = 9 + 160
Δ = 169
Usando a fórmula de Bháskara, teremos:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – (– 3) ± √169
2·1
x = 3 ± 13
2
x1 = 3 – 13 = – 10 = – 5
2 2
x2 = 3 + 13 = 16 = 8
2 2
Como não é possível que um polígono possua – 5 lados, o polígono com 20 diagonais possui 8 lados.
Alternativa D
